Знайти суму перших сорока членів послідовностей: а) 1⋅241,2⋅341,3⋅441,…,n(n+1)41,…; б) 1⋅43,4⋅73,7⋅103,…,(3n−2)(3n+1)3,….
Що треба знати
Кожен дріб у цих послідовностях можна подати у вигляді різниці двох простіших дробів (метод розщеплення). Сума таких членів скорочується («телескопічна сума»), залишаючи лише перший і останній доданки.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Розпиши кожен дріб у вигляді A⋅(k1−k+11) або аналогічної різниці, підставив n=40.
Розв’язання крок за кроком
Спрощуємо загальний член для випадку а): n(n+1)41=41⋅(n1−n+11).
Записуємо суму перших 40 членів: S40=41⋅[(11−21)+(21−31)+⋯+(401−411)].
Після скорочення залишається S40=41⋅(1−411)=41⋅4140=40.
Спрощуємо загальний член для випадку б): (3n−2)(3n+1)3=33⋅(3n−21−3n+11)=1⋅(3n−21−3n+11).
Записуємо суму перших 40 членів: S40=(11−41)+(41−71)+⋯+(3⋅40−21−3⋅40+11).
Після скорочення залишається S40=1−1211=121120.
