Завдання 1016, § 18. Задачі на обчислення сум Sums Calculation Problems — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 1016

Розв'язання рівняння з нескінченною сумою

Спростити вираз $1 + 2 x + x^{2} - x^{3} + x^{4} - x^{5} + \dots$ при умові $∣ x ∣ < 1$ і знайти значення $x$ , якщо сума дорівнює $\frac{13}{6}$ .

Розв’язання

Запишемо сума як суму двох геометричних прогресій: $S = (1 + x^{2} + x^{4} + \dots) - (x^{3} + x^{5} + x^{7} + \dots)$ .
Знайдемо суму першої частини, де $a = 1$ і $q = x^{2}$ : $S_{1} = \frac{1}{1 - x ^{2}}$ .
Знайдемо суму другої частини, де $a = x^{3}$ і $q = x^{2}$ : $S_{2} = \frac{x ^{3}}{1 - x ^{2}}$ .
Обчислимо загальну суму: $\frac{1}{1 - x ^{2}} - \frac{x ^{3}}{1 - x ^{2}} = \frac{1 - x ^{3}}{1 - x ^{2}}$ .
Спростимо дріб, розклавши чисельник на множники $(1 - x) (1 + x + x^{2})$ і знаменник як $(1 - x) (1 + x)$ : $\frac{( 1 - x ) ( 1 + x + x ^{2} )}{( 1 - x ) ( 1 + x )} = \frac{1 + x + x ^{2}}{1 + x}$ .
За умовою рівняння прирівнюємо отриманий вираз до $\frac{13}{6}$ і розв'язуємо відносно $x$ : $\frac{1 + x + x ^{2}}{1 + x} = \frac{13}{6} \Rightarrow 6 (1 + x + x^{2}) = 13 (1 + x) \Rightarrow 6 + 6 x + 6 x^{2} = 13 + 13 x \Rightarrow 6 x^{2} - 7 x - 7 = 0$ .
Знаходимо корені квадратного рівняння: $D = (- 7)^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 7) = 49 + 168 = 217$ . Корені: $x_{1} = \frac{7 + 217}{12}$ , $x_{2} = \frac{7 - 217}{12}$ .
Перевіряємо умову $∣ x ∣ < 1$ . Оскільки $217 > 14$ , то $\frac{7 + 14}{12} > 1$ , отже, перший корінь не підходить. Другий корінь менший за 1 за модулем.

Відповідь:

$x = \frac{7 - 217}{12}$

Розбір зрозумілий?

§ 18. Задачі на обчислення сум Sums Calculation Problems Завдання 1016 с. 193

Розв'язання рівняння з нескінченною сумою

Умова

Що треба знати

Вираз складається з двох нескінченних геометричних прогресій, які можна розкласти на окремі суми. Сума нескінченної геометричної прогресії $a + a q + a q^{2} + \dots$ при $∣ q ∣ < 1$ дорівнює $\frac{a}{1 - q}$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Розбий вираз на дві окремі частини (додатні та від'ємні доданки) і застосуй формулу суми нескінченної геометричної прогресії до кожної з них.

Розв’язання крок за кроком

Запишемо сума як суму двох геометричних прогресій: $S = (1 + x^{2} + x^{4} + \dots) - (x^{3} + x^{5} + x^{7} + \dots)$ .
Знайдемо суму першої частини, де $a = 1$ і $q = x^{2}$ : $S_{1} = \frac{1}{1 - x ^{2}}$ .
Знайдемо суму другої частини, де $a = x^{3}$ і $q = x^{2}$ : $S_{2} = \frac{x ^{3}}{1 - x ^{2}}$ .
Обчислимо загальну суму: $\frac{1}{1 - x ^{2}} - \frac{x ^{3}}{1 - x ^{2}} = \frac{1 - x ^{3}}{1 - x ^{2}}$ .
Спростимо дріб, розклавши чисельник на множники $(1 - x) (1 + x + x^{2})$ і знаменник як $(1 - x) (1 + x)$ : $\frac{( 1 - x ) ( 1 + x + x ^{2} )}{( 1 - x ) ( 1 + x )} = \frac{1 + x + x ^{2}}{1 + x}$ .
За умовою рівняння прирівнюємо отриманий вираз до $\frac{13}{6}$ і розв'язуємо відносно $x$ : $\frac{1 + x + x ^{2}}{1 + x} = \frac{13}{6} \Rightarrow 6 (1 + x + x^{2}) = 13 (1 + x) \Rightarrow 6 + 6 x + 6 x^{2} = 13 + 13 x \Rightarrow 6 x^{2} - 7 x - 7 = 0$ .
Знаходимо корені квадратного рівняння: $D = (- 7)^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 7) = 49 + 168 = 217$ . Корені: $x_{1} = \frac{7 + 217}{12}$ , $x_{2} = \frac{7 - 217}{12}$ .
Перевіряємо умову $∣ x ∣ < 1$ . Оскільки $217 > 14$ , то $\frac{7 + 14}{12} > 1$ , отже, перший корінь не підходить. Другий корінь менший за 1 за модулем.

Відповідь:

$x = \frac{7 - 217}{12}$

Розбір зрозумілий?