Завдання 1015, § 18. Задачі на обчислення сум Sums Calculation Problems — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 1015

Рівняння з нескінченним рядом

Знайти значення $x$ , якщо $\frac{1}{x} + x + x^{2} + \dots + x^{4} + \dots = \frac{7}{2}$ , при умові $∣ x ∣ < 1$ .

Розв’язання

Сума прогресії дорівнює $S = \frac{\frac{1}{x}}{x - 1}$ . Прирівнюємо до заданого значення: $\frac{1}{x ( x - 1 )} = \frac{7}{2}$ .
Розв'язуємо рівняння: $2 = 7 x (x - 1) \Rightarrow 7 x^{2} - 7 x - 2 = 0$ . Дискримінант $D = 49 - 4 \cdot 7 \cdot (- 2) = 121$ . Корені: $x_{1} = \frac{7 + 11}{14} = \frac{18}{14} = \frac{9}{7}$ , $x_{2} = \frac{7 - 11}{14} = - \frac{4}{14} = - \frac{2}{7}$ .
Перевіряємо умову $∣ x ∣ < 1$ : $\frac{9}{7} > 1$ (не підходить), $- \frac{2}{7} < 1$ (підходить).

Відповідь:

$x = - \frac{2}{7}$ .

Розбір зрозумілий?

§ 18. Задачі на обчислення сум Sums Calculation Problems Завдання 1015 с. 193

Рівняння з нескінченним рядом

Умова

Знайти значення $x$ , якщо $\frac{1}{x} + x + x^{2} + \dots + x^{4} + \dots = \frac{7}{2}$ , при умові $∣ x ∣ < 1$ .

Що треба знати

Даний вираз є нескінченною геометричною прогресією з першим членом $\frac{1}{x}$ і знаменником $x$ . Сума нескінченної геометричної прогресії обчислюється за формулою $S = \frac{b _{1}}{q - 1}$ , де $∣ q ∣ < 1$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Запиши суму прогресії через перший член та знаменник, прирівняй до $\frac{7}{2}$ і розв'яжи отримане рівняння.

Розв’язання крок за кроком

Сума прогресії дорівнює $S = \frac{\frac{1}{x}}{x - 1}$ . Прирівнюємо до заданого значення: $\frac{1}{x ( x - 1 )} = \frac{7}{2}$ .
Розв'язуємо рівняння: $2 = 7 x (x - 1) \Rightarrow 7 x^{2} - 7 x - 2 = 0$ . Дискримінант $D = 49 - 4 \cdot 7 \cdot (- 2) = 121$ . Корені: $x_{1} = \frac{7 + 11}{14} = \frac{18}{14} = \frac{9}{7}$ , $x_{2} = \frac{7 - 11}{14} = - \frac{4}{14} = - \frac{2}{7}$ .
Перевіряємо умову $∣ x ∣ < 1$ : $\frac{9}{7} > 1$ (не підходить), $- \frac{2}{7} < 1$ (підходить).

Відповідь:

$x = - \frac{2}{7}$ .

Розбір зрозумілий?