Завдання 1011, § 18. Задачі на обчислення сум Sums Calculation Problems — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 1011

Сума периметрів та довжин кіл (мал. 18.3)

За малюнком (мал. 18.3), де зображено послідовність трикутників і кіл, знайти суму периметрів усіх трикутників та суму довжин усіх кіл. (Примітка: на сторінці відсутні числові дані для малюнка, наприклад, радіус або сторона першого трикутника, тому розв'язати чисельно неможливо).

Розв’язання

Оскільки малюнок не містить числових даних (сторони або радіус), ми можемо лише описати алгоритм розв'язання.
Позначимо периметр першого трикутника як $P_{1}$ та довжину кола як $L_{1}$ .
Припустимо, що фігури побудовані за принципом середин сторін (як у задачі 1000), тоді коефіцієнт подібності $q = \frac{1}{2}$ .
Сума периметрів: $S_{P} = P_{1} + P_{1} q + P_{1} q^{2} + \dots = \frac{P _{1}}{1 - q} = \frac{P _{1}}{0 , 5} = 2 P_{1}$ .
Сума довжин кіл: $S_{L} = L_{1} + L_{1} q + L_{1} q^{2} + \dots = \frac{L _{1}}{1 - q} = \frac{L _{1}}{0 , 5} = 2 L_{1}$ .

Відповідь:

Сума периметрів дорівнює $2 P_{1}$ , сума довжин кіл — $2 L_{1}$ (де $P_{1}$ і $L_{1}$ — відповідно периметр та довжина кола першого трикутника, які не вказані в умові завдання).

Розбір зрозумілий?

§ 18. Задачі на обчислення сум Sums Calculation Problems Завдання 1011 с. 192

Сума периметрів та довжин кіл (мал. 18.3)

Умова

Що треба знати

Задача базується на властивостях подібних фігур. Якщо кожен наступний трикутник і коло є подібними до попередніх з коефіцієнтом подібності $k$ (наприклад, $k = 0, 5$ , як у задачі 1000), то сума периметрів — це сума нескінченної геометричної прогресії, а сума довжин кіл також є сумою такої прогресії.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Потрібно визначити коефіцієнт подібності між фігурами на малюнку (зазвичай це середини сторін, отже $k = 0, 5$ ) та периметр/довжину першої фігури.

Розв’язання крок за кроком

Оскільки малюнок не містить числових даних (сторони або радіус), ми можемо лише описати алгоритм розв'язання.
Позначимо периметр першого трикутника як $P_{1}$ та довжину кола як $L_{1}$ .
Припустимо, що фігури побудовані за принципом середин сторін (як у задачі 1000), тоді коефіцієнт подібності $q = \frac{1}{2}$ .
Сума периметрів: $S_{P} = P_{1} + P_{1} q + P_{1} q^{2} + \dots = \frac{P _{1}}{1 - q} = \frac{P _{1}}{0 , 5} = 2 P_{1}$ .
Сума довжин кіл: $S_{L} = L_{1} + L_{1} q + L_{1} q^{2} + \dots = \frac{L _{1}}{1 - q} = \frac{L _{1}}{0 , 5} = 2 L_{1}$ .

Відповідь:

Розбір зрозумілий?