Завдання 1010, § 18. Задачі на обчислення сум Sums Calculation Problems — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 1010

Сума прогресії за формулою n-го члена

Дано нескінченно спадну геометричну прогресію з загальним членом $b_{n} = 5 \cdot 3^{- n}$ . Потрібно знайти суму всіх її членів.

Розв’язання

Запишемо формулу n-го члена: $b_{n} = 5 \cdot 3^{- n} = 5 \cdot (\frac{1}{3})^{n}$ .
Перший член прогресії ( $n = 1$ ): $b_{1} = 5 \cdot (\frac{1}{3})^{1} = \frac{5}{3}$ .
Знаменник прогресії — це основа степеня при $n$ : $q = \frac{1}{3}$ .
Обчислимо суму за формулою: $S = \frac{b _{1}}{1 - q} = \frac{\frac{5}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{2}{3}}$ .
Скоротимо дріб і отримаємо результат: $\frac{5}{2} = 2, 5$ .

Відповідь:

$2, 5$ .

Розбір зрозумілий?

§ 18. Задачі на обчислення сум Sums Calculation Problems Завдання 1010 с. 192

Сума прогресії за формулою n-го члена

Умова

Що треба знати

Сума нескінченної геометричної прогресії дорівнює $\frac{b _{1}}{1 - q}$ , де $b_{1}$ — перший член, а $q$ — знаменник. Знаменник можна знайти як відношення двох сусідніх членів: $q = \frac{b _{n + 1}}{b _{n}}$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Спростіть вираз для $b_{n}$ , щоб визначити перший член ( $n = 1$ ) та знаменник (коефіцієнт при степені 3).

Розв’язання крок за кроком

Запишемо формулу n-го члена: $b_{n} = 5 \cdot 3^{- n} = 5 \cdot (\frac{1}{3})^{n}$ .
Перший член прогресії ( $n = 1$ ): $b_{1} = 5 \cdot (\frac{1}{3})^{1} = \frac{5}{3}$ .
Знаменник прогресії — це основа степеня при $n$ : $q = \frac{1}{3}$ .
Обчислимо суму за формулою: $S = \frac{b _{1}}{1 - q} = \frac{\frac{5}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{2}{3}}$ .
Скоротимо дріб і отримаємо результат: $\frac{5}{2} = 2, 5$ .

Відповідь:

$2, 5$ .

Розбір зрозумілий?