Завдання 1009, § 18. Задачі на обчислення сум Sums Calculation Problems — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 1009

Сума прогресії та квадратів членів

Дано нескінченно спадну геометричну прогресію, де сума її членів $S = 1, 5$ , а сума квадратів членів $S_{s q} = 1, 125$ . Потрібно знайти перший член $b_{1}$ та знаменник $q$ .

Розв’язання

Запишемо формули для сум: $\frac{b _{1}}{1 - q} = 1, 5$ та $\frac{b _{1}^{2}}{1 - q ^{2}} = 1, 125$ .
З першого рівняння виразимо $b_{1}$ : $b_{1} = 1, 5 (1 - q)$ .
Підставимо це значення у друге рівняння: $\frac{( 1 , 5 ( 1 - q ) ) ^{2}}{1 - q ^{2}} = 1, 125$ . Оскільки $1 - q^{2} = (1 - q) (1 + q)$ , скоротимо дріб на $(1 - q)$ .
Отримаємо рівняння $\frac{2 , 25 ( 1 - q )}{1 + q} = 1, 125$ . Поділимо обидві частини на $1, 125$ : $\frac{2}{1 + q} = 1$ , звідки $1 + q = 2$ , тобто $q = 0, 5$ .
Знайдемо перший член: $b_{1} = 1, 5 (1 - 0, 5) = 1, 5 \cdot 0, 5 = 0, 75$ .

Відповідь:

Перший член $0, 75$ , знаменник $0, 5$ .

Розбір зрозумілий?

§ 18. Задачі на обчислення сум Sums Calculation Problems Завдання 1009 с. 192

Сума прогресії та квадратів членів

Умова

Що треба знати

Сума нескінченної геометричної прогресії обчислюється за формулою $S = \frac{b _{1}}{1 - q}$ , де $∣ q ∣ < 1$ . Сума квадратів членів також є сумою геометричної прогресії з першим членом $b_{1}^{2}$ і знаменником $q^{2}$ , отже $S_{s q} = \frac{b _{1}^{2}}{1 - q ^{2}}$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Скласти систему рівнянь за двома даними сумами та спробувати виразити $b_{1}$ з першого рівняння, щоб підставити у друге.

Розв’язання крок за кроком

Запишемо формули для сум: $\frac{b _{1}}{1 - q} = 1, 5$ та $\frac{b _{1}^{2}}{1 - q ^{2}} = 1, 125$ .
З першого рівняння виразимо $b_{1}$ : $b_{1} = 1, 5 (1 - q)$ .
Підставимо це значення у друге рівняння: $\frac{( 1 , 5 ( 1 - q ) ) ^{2}}{1 - q ^{2}} = 1, 125$ . Оскільки $1 - q^{2} = (1 - q) (1 + q)$ , скоротимо дріб на $(1 - q)$ .
Отримаємо рівняння $\frac{2 , 25 ( 1 - q )}{1 + q} = 1, 125$ . Поділимо обидві частини на $1, 125$ : $\frac{2}{1 + q} = 1$ , звідки $1 + q = 2$ , тобто $q = 0, 5$ .
Знайдемо перший член: $b_{1} = 1, 5 (1 - 0, 5) = 1, 5 \cdot 0, 5 = 0, 75$ .

Відповідь:

Перший член $0, 75$ , знаменник $0, 5$ .

Розбір зрозумілий?