Завдання 1008, § 18. Задачі на обчислення сум Sums Calculation Problems — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 1008

Знаходження члена прогресії за відношенням членів і сумою

Перший член нескінченно спадної геометричної прогресії на 8 більший, ніж другий ( $a_{1} - a_{2} = 8$ ), а сума дорівнює 18 ( $S = 18$ ). Знайти четвертий член $b_{4}$ .

Розв’язання

Запишемо систему рівнянь:
${a_{1} - a_{1} q = 8 \frac{a _{1}}{1 - q} = 18$
З другого рівняння виразимо $a_{1}$ : $a_{1} = 18 (1 - q)$ .
Підставимо це у перше рівняння: $18 (1 - q) - 18 (1 - q) q = 8 \Rightarrow 18 (1 - q) (1 - q) = 8 \Rightarrow 18 (1 - 2 q + q^{2}) = 8$ .
Спростимо: $9 (1 - 2 q + q^{2}) = 4 \Rightarrow 9 - 18 q + 9 q^{2} = 4 \Rightarrow 9 q^{2} - 18 q + 5 = 0$ .
Розв'язуємо квадратне рівняння: $D = 324 - 180 = 144$ , $D = 12$ .
Корені: $q_{1} = \frac{18 - 12}{18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$ , $q_{2} = \frac{18 + 12}{18} = \frac{30}{18} = \frac{5}{3}$ .
Оскільки прогресія нескінченно спадна, $∣ q ∣ < 1$ , отже $q = \frac{1}{3}$ .
Знаходимо перший член: $a_{1} = 18 (1 - \frac{1}{3}) = 18 \cdot \frac{2}{3} = 12$ .
Знаходимо четвертий член: $b_{4} = a_{1} q^{3} = 12 \cdot (\frac{1}{3})^{3} = 12 \cdot \frac{1}{27} = \frac{12}{27} = \frac{4}{9}$ .

Відповідь:

$\frac{4}{9}$ .

Розбір зрозумілий?

§ 18. Задачі на обчислення сум Sums Calculation Problems Завдання 1008 с. 192

Знаходження члена прогресії за відношенням членів і сумою

Умова

Що треба знати

Суму нескінченної прогресії знаходимо за формулою $S = \frac{a _{1}}{1 - q}$ . Другий член виражаємо через перший та знаменник: $a_{2} = a_{1} q$ . Система рівнянь допоможе знайти $a_{1}$ і $q$ , після чого обчислимо $b_{4} = a_{1} q^{3}$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Складіть систему двох рівнянь з невідомими $a_{1}$ та $q$ : одне з умови різниці членів, інше — з суми.

Розв’язання крок за кроком

Запишемо систему рівнянь:
${a_{1} - a_{1} q = 8 \frac{a _{1}}{1 - q} = 18$
З другого рівняння виразимо $a_{1}$ : $a_{1} = 18 (1 - q)$ .
Підставимо це у перше рівняння: $18 (1 - q) - 18 (1 - q) q = 8 \Rightarrow 18 (1 - q) (1 - q) = 8 \Rightarrow 18 (1 - 2 q + q^{2}) = 8$ .
Спростимо: $9 (1 - 2 q + q^{2}) = 4 \Rightarrow 9 - 18 q + 9 q^{2} = 4 \Rightarrow 9 q^{2} - 18 q + 5 = 0$ .
Розв'язуємо квадратне рівняння: $D = 324 - 180 = 144$ , $D = 12$ .
Корені: $q_{1} = \frac{18 - 12}{18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$ , $q_{2} = \frac{18 + 12}{18} = \frac{30}{18} = \frac{5}{3}$ .
Оскільки прогресія нескінченно спадна, $∣ q ∣ < 1$ , отже $q = \frac{1}{3}$ .
Знаходимо перший член: $a_{1} = 18 (1 - \frac{1}{3}) = 18 \cdot \frac{2}{3} = 12$ .
Знаходимо четвертий член: $b_{4} = a_{1} q^{3} = 12 \cdot (\frac{1}{3})^{3} = 12 \cdot \frac{1}{27} = \frac{12}{27} = \frac{4}{9}$ .

Відповідь:

$\frac{4}{9}$ .

Розбір зрозумілий?