Завдання 1006, § 18. Задачі на обчислення сум Sums Calculation Problems — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 1006

Сума нескінченної геометричної прогресії

Знайти суму членів нескінченно спадної геометричної прогресії за її початковими членами.
а) $55, 5, 5, 1, \dots$ ;
б) $\frac{1}{2 - 2}, \frac{1}{2}, \frac{2 - 1}{2 2}, \dots$ .

Розв’язання

Варіант а):
- Перший член $a_{1} = 55$ .
- Знаменник $q = \frac{5}{5 5} = \frac{1}{5} = \frac{5}{5}$ . Оскільки $5 > 3$ , то $q < 1$ , прогресія збігається.
- Сума: $S = \frac{5 5}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{5 5}{\frac{5 - 1}{5}} = \frac{5 5 \cdot 5}{5 - 1} = \frac{25}{5 - 1}$ .
- Рационалізуємо знаменник: $\frac{25 ( 5 + 1 )}{( 5 - 1 ) ( 5 + 1 )} = \frac{25 ( 5 + 1 )}{5 - 1} = \frac{25 ( 5 + 1 )}{4}$ .
Варіант б):
- Перший член $a_{1} = \frac{1}{2 - 2}$ .
- Знаменник $q = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2 - 2}} = \frac{2 - 2}{2} = 1 - \frac{2}{2}$ . Оскільки $2 \approx 1, 41$ , то $q \approx 0, 3 < 1$ .
- Сума: $S = \frac{a _{1}}{1 - q} = \frac{\frac{1}{2 - 2}}{1 - ( 1 - \frac{2}{2} )} = \frac{\frac{1}{2 - 2}}{\frac{2}{2}} = \frac{1}{( 2 - 2 ) \cdot \frac{2}{2}} = \frac{1}{2 - 1}$ .
- Рационалізуємо: $\frac{1 ( 2 + 1 )}{( 2 - 1 ) ( 2 + 1 )} = \frac{2 + 1}{2 - 1} = 2 + 1$ .

Відповідь:

а) $\frac{25 ( 5 + 1 )}{4}$ ; б) $2 + 1$ .

---

Розбір зрозумілий?

§ 18. Задачі на обчислення сум Sums Calculation Problems Завдання 1006 с. 192

Сума нескінченної геометричної прогресії

Умова

Що треба знати

Сума нескінченно спадної геометричної прогресії обчислюється за формулою $S = \frac{a _{1}}{1 - q}$ , де $a_{1}$ — перший член, а $q$ — знаменник ( $∣ q ∣ < 1$ ). Знаменник знаходять як відношення будь-якого наступного члена до попереднього: $q = \frac{a _{2}}{a _{1}}$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Спочатку визначте перший член ( $a_{1}$ ) та знаменник ( $q$ ) для кожної прогресії, а потім підставте ці значення у формулу суми.

Розв’язання крок за кроком

Варіант а):
- Перший член $a_{1} = 55$ .
- Знаменник $q = \frac{5}{5 5} = \frac{1}{5} = \frac{5}{5}$ . Оскільки $5 > 3$ , то $q < 1$ , прогресія збігається.
- Сума: $S = \frac{5 5}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{5 5}{\frac{5 - 1}{5}} = \frac{5 5 \cdot 5}{5 - 1} = \frac{25}{5 - 1}$ .
- Рационалізуємо знаменник: $\frac{25 ( 5 + 1 )}{( 5 - 1 ) ( 5 + 1 )} = \frac{25 ( 5 + 1 )}{5 - 1} = \frac{25 ( 5 + 1 )}{4}$ .
Варіант б):
- Перший член $a_{1} = \frac{1}{2 - 2}$ .
- Знаменник $q = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2 - 2}} = \frac{2 - 2}{2} = 1 - \frac{2}{2}$ . Оскільки $2 \approx 1, 41$ , то $q \approx 0, 3 < 1$ .
- Сума: $S = \frac{a _{1}}{1 - q} = \frac{\frac{1}{2 - 2}}{1 - ( 1 - \frac{2}{2} )} = \frac{\frac{1}{2 - 2}}{\frac{2}{2}} = \frac{1}{( 2 - 2 ) \cdot \frac{2}{2}} = \frac{1}{2 - 1}$ .
- Рационалізуємо: $\frac{1 ( 2 + 1 )}{( 2 - 1 ) ( 2 + 1 )} = \frac{2 + 1}{2 - 1} = 2 + 1$ .

Відповідь:

а) $\frac{25 ( 5 + 1 )}{4}$ ; б) $2 + 1$ .

---

Розбір зрозумілий?