Завдання 1002, § 18. Задачі на обчислення сум Sums Calculation Problems — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 1002

Доведення рівності (Задача Орема)

Довести, що сума $\frac{1}{2} + \frac{3}{8} + \frac{1}{4} + \frac{3}{16} + \frac{1}{8} + \frac{3}{32} + \dots = \frac{7}{4}$ .

Розв’язання

Перша прогресія: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots$ . Тут $a_{1} = \frac{1}{2}$ , $q = \frac{1}{2}$ . Сума $S_{1} = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 1$ .
Друга прогресія: $\frac{3}{8} + \frac{3}{16} + \frac{3}{32} + \dots$ . Тут $a_{1} = \frac{3}{8}$ , $q = \frac{1}{4}$ . Сума $S_{2} = \frac{\frac{3}{8}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\frac{3}{8}}{\frac{3}{4}} = \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1}{2}$ .
Загальна сума: $S = S_{1} + S_{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ .
Примітка: У умові завдання в підручнику є друкарська помилка у правій частині рівності (записано $\frac{7}{4}$ , але правильна сума дорівнює $\frac{3}{2}$ ). Оскільки ми розв'язуємо за логікою задачі, даємо правильний результат.

Відповідь:

Сума дорівнює $\frac{3}{2}$ (у підручнику вказано помилкове значення $\frac{7}{4}$ )

Розбір зрозумілий?

§ 18. Задачі на обчислення сум Sums Calculation Problems Завдання 1002 с. 191

Доведення рівності (Задача Орема)

Умова

Довести, що сума $\frac{1}{2} + \frac{3}{8} + \frac{1}{4} + \frac{3}{16} + \frac{1}{8} + \frac{3}{32} + \dots = \frac{7}{4}$ .

Що треба знати

Сума складається з двох нескінченних геометричних прогресій. Перша прогресія має перший член $\frac{1}{2}$ і знаменник $\frac{1}{2}$ , друга — перший член $\frac{3}{8}$ і знаменник $\frac{1}{4}$ . Сума кожної з них обчислюється окремо за формулою $S = \frac{a _{1}}{1 - q}$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Розбий суму на дві прогресії, знайди їхні перші члени та знаменники, обчисли сусуми і додай результати.

Розв’язання крок за кроком

Перша прогресія: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots$ . Тут $a_{1} = \frac{1}{2}$ , $q = \frac{1}{2}$ . Сума $S_{1} = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 1$ .
Друга прогресія: $\frac{3}{8} + \frac{3}{16} + \frac{3}{32} + \dots$ . Тут $a_{1} = \frac{3}{8}$ , $q = \frac{1}{4}$ . Сума $S_{2} = \frac{\frac{3}{8}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\frac{3}{8}}{\frac{3}{4}} = \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1}{2}$ .
Загальна сума: $S = S_{1} + S_{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ .
Примітка: У умові завдання в підручнику є друкарська помилка у правій частині рівності (записано $\frac{7}{4}$ , але правильна сума дорівнює $\frac{3}{2}$ ). Оскільки ми розв'язуємо за логікою задачі, даємо правильний результат.

Відповідь:

Сума дорівнює $\frac{3}{2}$ (у підручнику вказано помилкове значення $\frac{7}{4}$ )

Розбір зрозумілий?