Завдання 1001, § 18. Задачі на обчислення сум Sums Calculation Problems — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 1001

Подібна задача про квадрати

Дано квадрат зі стороною $1 см$ . Середини його сторін — вершини другого квадрата, середини сторін другого — вершини третього і т. д. (мал. 18.3). Знайди суму периметрів усіх цих квадратів.

Розв’язання

Перший квадрат має сторону $a_{1} = 1 см$ , отже його периметр $P_{1} = 4 \cdot 1 = 4 см$ .
Діагональ першого квадрата $d_{1} = 1^{2} + 1^{2} = 2 см$ . Сторона другого квадрата дорівнює половині цієї діагоналі: $a_{2} = \frac{2}{2} см$ .
Периметр другого квадрата $P_{2} = 4 \cdot a_{2} = 4 \cdot \frac{2}{2} = 22 см$ . Знаменник прогресії периметрів: $q = \frac{P _{2}}{P _{1}} = \frac{2 2}{4} = \frac{2}{2}$ .
Сума всіх периметрів: $S = \frac{P _{1}}{1 - q} = \frac{4}{1 - \frac{2}{2}} = \frac{8}{2 - 2}$ .
Розкриємо дужки в знаменнику і скоротимо на $2$ : $S = \frac{8 ( 2 + 2 )}{4 - 2} = 4 (2 + 2) = 8 + 42 см$ .

Відповідь:

$8 + 42 см$

Розбір зрозумілий?

§ 18. Задачі на обчислення сум Sums Calculation Problems Завдання 1001 с. 191

Подібна задача про квадрати

Умова

Що треба знати

При побудові нового квадрата з середин сторін попереднього його сторона дорівнює половині діагоналі попереднього, тобто $a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{2}$ . Периметр кожного наступного квадрата у $\frac{2}{2}$ разів менший за периметр попереднього. Це нескінченна геометрична прогресія з $q = \frac{2}{2} < 1$ , сума якої обчислюється за формулою $S = \frac{a _{1}}{1 - q}$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Знайди периметр першого квадрата, визнач знаменник прогресії для периметрів і підстав чисельні значення у формулу суми нескінченної геометричної прогресії.

Розв’язання крок за кроком

Перший квадрат має сторону $a_{1} = 1 см$ , отже його периметр $P_{1} = 4 \cdot 1 = 4 см$ .
Діагональ першого квадрата $d_{1} = 1^{2} + 1^{2} = 2 см$ . Сторона другого квадрата дорівнює половині цієї діагоналі: $a_{2} = \frac{2}{2} см$ .
Периметр другого квадрата $P_{2} = 4 \cdot a_{2} = 4 \cdot \frac{2}{2} = 22 см$ . Знаменник прогресії периметрів: $q = \frac{P _{2}}{P _{1}} = \frac{2 2}{4} = \frac{2}{2}$ .
Сума всіх периметрів: $S = \frac{P _{1}}{1 - q} = \frac{4}{1 - \frac{2}{2}} = \frac{8}{2 - 2}$ .
Розкриємо дужки в знаменнику і скоротимо на $2$ : $S = \frac{8 ( 2 + 2 )}{4 - 2} = 4 (2 + 2) = 8 + 42 см$ .

Відповідь:

$8 + 42 см$

Розбір зрозумілий?