Завдання 994, § 18. Задачі на обчислення сум Sums Calculation Problems — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 994

Сума нескінченної геометричної прогресії

Знайти суму нескінченної геометричної прогресії для чотирьох випадків:
а) $1, \frac{2}{3}, \frac{4}{9}, \frac{8}{27}, \dots$ ;
б) $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots$ ;
в) $9, - 3, 1, - \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \dots$ ;
г) $- 8, 4, - 2, 1, - \frac{1}{2}, \dots$ .

Розв’язання

Підпункт а):
- Перший член $a_{1} = 1$ .
- Знаменник $q = \frac{2/3}{1} = \frac{2}{3}$ . Оскільки $\frac{2}{3} < 1$ , сума існує.
- Обчислюємо: $S = \frac{1}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3$ .
Підпункт б):
- Перший член $a_{1} = 1$ .
- Знаменник $q = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}$ . Оскільки $\frac{1}{2} < 1$ , сума існує.
- Обчислюємо: $S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$ .
Підпункт в):
- Перший член $a_{1} = 9$ .
- Знаменник $q = \frac{- 3}{9} = - \frac{1}{3}$ . Оскільки $- \frac{1}{3} < 1$ , сума існує.
- Обчислюємо: $S = \frac{9}{1 - ( - \frac{1}{3} )} = \frac{9}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{9}{\frac{4}{3}} = 9 \cdot \frac{3}{4} = \frac{27}{4}$ .
Підпункт г):
- Перший член $a_{1} = - 8$ .
- Знаменник $q = \frac{4}{- 8} = - \frac{1}{2}$ . Оскільки $- \frac{1}{2} < 1$ , сума існує.
- Обчислюємо: $S = \frac{- 8}{1 - ( - \frac{1}{2} )} = \frac{- 8}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{- 8}{\frac{3}{2}} = - 8 \cdot \frac{2}{3} = - \frac{16}{3}$ .

Відповідь:

а) $3$ ;
б) $2$ ;
в) $\frac{27}{4}$ (або $6, 75$ );
г) $- \frac{16}{3}$ (або $- 5 \frac{1}{3}$ ).

Розбір зрозумілий?

§ 18. Задачі на обчислення сум Sums Calculation Problems Завдання 994 с. 190

Сума нескінченної геометричної прогресії

Умова

Що треба знати

Сума нескінченної геометричної прогресії існує лише тоді, коли модуль знаменника $∣ q ∣ < 1$ . Формула для знаходження суми: $S = \frac{a _{1}}{1 - q}$ , де $a_{1}$ — перший член, а $q$ — знаменник. Знаменник знаходять як відношення будь-якого наступного члена до попереднього ( $q = \frac{a _{n + 1}}{a _{n}}$ ).

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Для кожного підпункту спочатку визначте перший член $a_{1}$ та знаменник $q$ . Перевірте, чи виконується умова $∣ q ∣ < 1$ . Якщо так — підставте значення у формулу.

Розв’язання крок за кроком

Підпункт а):
- Перший член $a_{1} = 1$ .
- Знаменник $q = \frac{2/3}{1} = \frac{2}{3}$ . Оскільки $\frac{2}{3} < 1$ , сума існує.
- Обчислюємо: $S = \frac{1}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3$ .
Підпункт б):
- Перший член $a_{1} = 1$ .
- Знаменник $q = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}$ . Оскільки $\frac{1}{2} < 1$ , сума існує.
- Обчислюємо: $S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$ .
Підпункт в):
- Перший член $a_{1} = 9$ .
- Знаменник $q = \frac{- 3}{9} = - \frac{1}{3}$ . Оскільки $- \frac{1}{3} < 1$ , сума існує.
- Обчислюємо: $S = \frac{9}{1 - ( - \frac{1}{3} )} = \frac{9}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{9}{\frac{4}{3}} = 9 \cdot \frac{3}{4} = \frac{27}{4}$ .
Підпункт г):
- Перший член $a_{1} = - 8$ .
- Знаменник $q = \frac{4}{- 8} = - \frac{1}{2}$ . Оскільки $- \frac{1}{2} < 1$ , сума існує.
- Обчислюємо: $S = \frac{- 8}{1 - ( - \frac{1}{2} )} = \frac{- 8}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{- 8}{\frac{3}{2}} = - 8 \cdot \frac{2}{3} = - \frac{16}{3}$ .

Відповідь:

а) $3$ ;
б) $2$ ;
в) $\frac{27}{4}$ (або $6, 75$ );
г) $- \frac{16}{3}$ (або $- 5 \frac{1}{3}$ ).

Розбір зрозумілий?