Завдання 980, § 17. Геометрична прогресія Geometric Progression — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 980

Знаходження номера члена прогресії

а) Для прогресії $729, 243, \dots$ знайти номер члена, починаючи з якого всі наступні менші за $0, 01$ . б) Для прогресії $\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \dots$ знайти номер члена, починаючи з якого всі наступні більші за $5$ .

Розв’язання

а) Знайдемо параметри прогресії: $b_{1} = 729$ , $q = \frac{243}{729} = \frac{1}{3}$ . Загальний член: $b_{n} = 729 \cdot (\frac{1}{3})^{n - 1}$ . Нерівність: $729 \cdot (\frac{1}{3})^{n - 1} < 0, 01 = \frac{1}{100}$ .
Перетворимо нерівність: $(\frac{1}{3})^{n - 1} < \frac{1}{72900}$ . Оскільки $729 = 3^{6}$ , то $\frac{1}{72900} = \frac{1}{3 ^{6} \cdot 100}$ . Нерівність стає $(\frac{1}{3})^{n - 1} < \frac{1}{3 ^{6}} \cdot \frac{1}{100}$ . Очевидно, що при $n = 8$ маємо $\frac{1}{3 ^{7}} = \frac{1}{2187} > \frac{1}{72900}$ , а при $n = 9$ маємо $\frac{1}{3 ^{8}} = \frac{1}{6561}$ . Оскільки ми шукаємо момент, коли член стає меншим за $0, 01$ , перевіримо значення: $b_{8} = 729 \cdot (\frac{1}{3})^{7} = 729 \cdot \frac{1}{2187} = \frac{1}{3} \approx 0, 33 > 0, 01$ . $b_{9} = \frac{1}{9} \approx 0, 11 > 0, 01$ . $b_{10} = \frac{1}{27} \approx 0, 037 > 0, 01$ . $b_{11} = \frac{1}{81} \approx 0, 012 > 0, 01$ . $b_{12} = \frac{1}{243} \approx 0, 004 < 0, 01$ . Отже, починаючи з 12-го члена.
б) Перевіримо параметри: $b_{1} = \frac{1}{3}$ , $q = \frac{1/ 3}{1/3} = 3 > 1$ . Прогресія зростає. Перший член $\frac{1}{3} < 5$ , тому умова «більші за 5» не виконується ніколи для цього ряду (бо він починається з малого і росте, але треба перевірити межі). Очікуйте, тут, ймовірно, помилка в умові або мова про інший ряд. Якщо це прогресія $\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \dots$ , то $q = 3 \approx 1, 73$ . Члени: $\frac{1}{3} \approx 0, 33$ , $\frac{1}{3} \approx 0, 57$ , $\frac{1}{3} 3 = \frac{3}{3} \approx 0, 57$ ? Ні, $b_{2} = b_{1} \cdot q = \frac{1}{3} \cdot 3 = \frac{3}{3}$ . Це не збігається з умовою $\frac{1}{3}$ . Перевіримо: $\frac{1}{3} = \frac{3}{3}$ . Так, це те саме число. Отже $b_{1} = 1/3$ , $b_{2} = 3 /3$ . Знаменник дійсно $3$ . Прогресія зростає. Чи може вона перевищити 5? Так. Розв'яжемо $b_{n} > 5$ : $\frac{1}{3} \cdot (3)^{n - 1} > 5 \Rightarrow (3)^{n - 1} > 15$ . Піднесемо до квадрату: $3^{\frac{n - 1}{2}} > 15 \Rightarrow 3^{n - 1} > 225$ . Оскільки $3^{5} = 243$ , то $n - 1 = 5 \Rightarrow n = 6$ (бо $3^{4} = 81 < 225$ , $3^{5} = 243 > 225$ ). Отже, починаючи з 6-го члена.

Відповідь:

а) Починаючи з 12-го члена; б) Починаючи з 6-го члена.

Розбір зрозумілий?

§ 17. Геометрична прогресія Geometric Progression Завдання 980 с. 184

Знаходження номера члена прогресії

Умова

Що треба знати

Член геометричної прогресії задається формулою $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$ . Необхідно розв'язати нерівність $b_{n} < 0, 01$ (або $> 5$ ) відносно $n$ , враховуючи властивість монотонності прогресії.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

а) Знайди знаменник та запиши загальний член через $n$ . Розв'яжи нерівність, щоб знайти мінімальне ціле значення $n$ . б) Перевір, чи існує таке $n$ , враховуючи знак знаменника.

Розв’язання крок за кроком

а) Знайдемо параметри прогресії: $b_{1} = 729$ , $q = \frac{243}{729} = \frac{1}{3}$ . Загальний член: $b_{n} = 729 \cdot (\frac{1}{3})^{n - 1}$ . Нерівність: $729 \cdot (\frac{1}{3})^{n - 1} < 0, 01 = \frac{1}{100}$ .
Перетворимо нерівність: $(\frac{1}{3})^{n - 1} < \frac{1}{72900}$ . Оскільки $729 = 3^{6}$ , то $\frac{1}{72900} = \frac{1}{3 ^{6} \cdot 100}$ . Нерівність стає $(\frac{1}{3})^{n - 1} < \frac{1}{3 ^{6}} \cdot \frac{1}{100}$ . Очевидно, що при $n = 8$ маємо $\frac{1}{3 ^{7}} = \frac{1}{2187} > \frac{1}{72900}$ , а при $n = 9$ маємо $\frac{1}{3 ^{8}} = \frac{1}{6561}$ . Оскільки ми шукаємо момент, коли член стає меншим за $0, 01$ , перевіримо значення: $b_{8} = 729 \cdot (\frac{1}{3})^{7} = 729 \cdot \frac{1}{2187} = \frac{1}{3} \approx 0, 33 > 0, 01$ . $b_{9} = \frac{1}{9} \approx 0, 11 > 0, 01$ . $b_{10} = \frac{1}{27} \approx 0, 037 > 0, 01$ . $b_{11} = \frac{1}{81} \approx 0, 012 > 0, 01$ . $b_{12} = \frac{1}{243} \approx 0, 004 < 0, 01$ . Отже, починаючи з 12-го члена.
б) Перевіримо параметри: $b_{1} = \frac{1}{3}$ , $q = \frac{1/ 3}{1/3} = 3 > 1$ . Прогресія зростає. Перший член $\frac{1}{3} < 5$ , тому умова «більші за 5» не виконується ніколи для цього ряду (бо він починається з малого і росте, але треба перевірити межі). Очікуйте, тут, ймовірно, помилка в умові або мова про інший ряд. Якщо це прогресія $\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \dots$ , то $q = 3 \approx 1, 73$ . Члени: $\frac{1}{3} \approx 0, 33$ , $\frac{1}{3} \approx 0, 57$ , $\frac{1}{3} 3 = \frac{3}{3} \approx 0, 57$ ? Ні, $b_{2} = b_{1} \cdot q = \frac{1}{3} \cdot 3 = \frac{3}{3}$ . Це не збігається з умовою $\frac{1}{3}$ . Перевіримо: $\frac{1}{3} = \frac{3}{3}$ . Так, це те саме число. Отже $b_{1} = 1/3$ , $b_{2} = 3 /3$ . Знаменник дійсно $3$ . Прогресія зростає. Чи може вона перевищити 5? Так. Розв'яжемо $b_{n} > 5$ : $\frac{1}{3} \cdot (3)^{n - 1} > 5 \Rightarrow (3)^{n - 1} > 15$ . Піднесемо до квадрату: $3^{\frac{n - 1}{2}} > 15 \Rightarrow 3^{n - 1} > 225$ . Оскільки $3^{5} = 243$ , то $n - 1 = 5 \Rightarrow n = 6$ (бо $3^{4} = 81 < 225$ , $3^{5} = 243 > 225$ ). Отже, починаючи з 6-го члена.

Відповідь:

а) Починаючи з 12-го члена; б) Починаючи з 6-го члена.

Розбір зрозумілий?