Сторінка 184

Розв’язання

1. Нехай сторони трикутника — $a$, $b$, $c$ (де $c$ — гіпотенуза). Якщо вони утворюють геометричну прогресію, то $b=a\cdot q$ і $c=a\cdot q^2$.

2. Застосуємо теорему Піфагора: $(a\cdot q{)}^2+(a\cdot q^2{)}^2=(a\cdot q^2{)}^2$ — це невірно, бо гіпотенуза має бути найбільшою стороною, тому порядок членів має бути $a$, $b=aq$, $c=a{q}^2$. Перевіримо: $(aq{)}^2+a^2=(a{q}^2{)}^2\Rightarrow a^2(q^2+1)=a^2{q}^4$.

3. Скоротимо на $a^2$ ($a\ne 0$): $q^2+1=q^4$. Перетворимо на рівняння: $q^4-q^2-1=0$. Нехай $t=q^2$, тоді $t^2-t-1=0$.

Розв’язання

1. Нехай кут між сторонами гострого кута дорівнює $\alpha$. Розглянемо два сусідні кола з радіусами $r_k$ та $r_{k+1}$.

2. Відстань від вершини кута до точки дотику першого кола дорівнює $d_1=r_k/\sin (\alpha /2)$. Відстань до точки дотику другого кола — $d_2=d_1+2r_k$ (сума діаметра та відстані).

3. За властивістю подібності трикутників, що утворилися при розгляді послідовних кіл, відношення радіусів сусідніх кіл є постійним: $\frac{r_{k+1}}{r_k}=\text{const}$.

Розв’язання

1. Позначимо добуток як $P_n=b_1\cdot b_2\cdot \cdots \cdot b_{n-1}\cdot b_n$.

2. Замінимо кожен член через перший та знаменник: $b_k=b_1\cdot q^{k-1}$. Тоді $P_n=b_1^n\cdot (q^0\cdot q^1\cdot \cdots \cdot q^{n-1})$.

3. Сума показників степенів знаменника: $0+1+\cdots +(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$. Отже, $P_n=b_1^n\cdot q^{\frac{n(n-1)}{2}}$.

Розв’язання

1. Перевіримо умову на геометричну прогресію: $\frac{b_2}{b_1}=\frac{2}{1}=2$, отже, знаменник $q=2$. Перший член $b_1=1$ копійки. Кількість членів $n=20$.

2. Підставимо значення в формулу суми: $S_{20}=\frac{1\cdot (2^{20}-1)}{2-1}=2^{20}-1$.

3. Обчислимо значення $2^{20}$: $2^{10}=1024$, тому $2^{20}=1024\cdot 1024=1048576$. Віднімемо одиницю: $1048576-1=1048575$ копійок.

Розв’язання

1. Переведемо час у хвилини: 1 доба = 24 години $\cdot$ 60 хв/год = 1440 хвилин.

2. Знайдемо кількість поділів (кількість членів прогресії): $k=\frac{1440}{20}=72$. Отже, ми маємо перший член $b_1=1$, знаменник $q=2$ і кількість членів $n=72$.

3. Обчислимо загальну кількість бактерій: $N=2^{72}$. Це дуже велике число (приблизно $4,7\cdot 10^{21}$), яке неможливо записати повністю в звичайному форматі без наукового позначення.

Розв’язання

1. а) Знайдемо параметри прогресії: $b_1=729$, $q=\frac{243}{729}=\frac{1}{3}$. Загальний член: $b_n=729\cdot (\frac{1}{3}{)}^{n-1}$. Нерівність: $729\cdot (\frac{1}{3}{)}^{n-1}<0,01=\frac{1}{100}$.

2. Перетворимо нерівність: $(\frac{1}{3}{)}^{n-1}<\frac{1}{72900}$. Оскільки $729=3^6$, то $\frac{1}{72900}=\frac{1}{3^6\cdot 100}$. Нерівність стає $(\frac{1}{3}{)}^{n-1}<\frac{1}{3^6}\cdot \frac{1}{100}$. Очевидно, що при $n=8$ маємо $\frac{1}{3^7}=\frac{1}{2187}>\frac{1}{72900}$, а при $n=9$ маємо $\frac{1}{3^8}=\frac{1}{6561}$. Оскільки ми шукаємо момент, коли член стає меншим за $0,01$, перевіримо значення: $b_8=729\cdot (\frac{1}{3}{)}^7=729\cdot \frac{1}{2187}=\frac{1}{3}\approx 0,33>0,01$. $b_9=\frac{1}{9}\approx 0,11>0,01$. $b_{10}=\frac{1}{27}\approx 0,037>0,01$. $b_{11}=\frac{1}{81}\approx 0,012>0,01$. $b_{12}=\frac{1}{243}\approx 0,004<0,01$. Отже, починаючи з 12-го члена.

3. б) Перевіримо параметри: $b_1=\frac{1}{3}$, $q=\frac{1/\sqrt{3}}{1/3}=\sqrt{3}>1$. Прогресія зростає. Перший член $\frac{1}{3}<5$, тому умова «більші за 5» не виконується ніколи для цього ряду (бо він починається з малого і росте, але треба перевірити межі). Очікуйте, тут, ймовірно, помилка в умові або мова про інший ряд. Якщо це прогресія $\frac{1}{3},\frac{1}{\sqrt{3}},\dots$, то $q=\sqrt{3}\approx 1,73$. Члени: $\frac{1}{3}\approx 0,33$, $\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0,57$, $\frac{1}{3}\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx 0,57$? Ні, $b_2=b_1\cdot q=\frac{1}{3}\cdot \sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Це не збігається з умовою $\frac{1}{\sqrt{3}}$. Перевіримо: $\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Так, це те саме число. Отже $b_1=1/3$, $b_2=\sqrt{3}/3$. Знаменник дійсно $\sqrt{3}$. Прогресія зростає. Чи може вона перевищити 5? Так. Розв'яжемо $b_n>5$: $\frac{1}{3}\cdot (\sqrt{3}{)}^{n-1}>5\Rightarrow (\sqrt{3}{)}^{n-1}>15$. Піднесемо до квадрату: $3^{\frac{n-1}{2}}>15\Rightarrow 3^{n-1}>225$. Оскільки $3^5=243$, то $n-1=5\Rightarrow n=6$ (бо $3^4=81<225$, $3^5=243>225$). Отже, починаючи з 6-го члена.

Розв’язання

1. Оцінимо тривалість одного покоління. Якщо людина народжує дітей до 30 років, то середній вік батьків при народженні дітей становить приблизно 15–20 років. Візьмемо для розрахунків 20 років.

2. Загальний час від початку ери (1 рік) до наших днів — це 2024 роки. Кількість поколінь $n=\frac{2024}{20}\approx 101$.

3. Розрахуємо кількість людей у останньому поколінні: $2^{101}$. Це число має приблизно 30 цифр і становить близько $2,5\cdot 10^{30}$ осіб.

4. Порівняємо з реальною чисельністю населення Землі, яка складає близько 8 мільярдів ($8\cdot 10^9$) людей.

Розв’язання

1. а) На проміжку $(0;3)$ функція зростає. При $x\to 0$ маємо $y\to 0$, при $x=3$ маємо $y=9$. Область значень: $(0;9)$.

2. б) На проміжку $(-5;-3)$ функція спадає (бо $x<0$). При $x=-5$ маємо $y=25$, при $x\to -3$ маємо $y\to 9$. Область значень: $(9;25)$.

3. в) На проміжку $[-2;3)$ функція спочатку спадає від $-2$ до $0$, а потім зростає від $0$ до $3$. Найменше значення $y=0$ (при $x=0$), найбільше — при $x=-2$ ($y=4$). Область значень: $[0;4)$.

4. г) На проміжку $[-4;4)$ функція спадає від $-4$ до $0$, а зростає від $0$ до $4$. Найменше значення $y=0$, найбільше — при $x=-4$ ($y=16$). Область значень: $[0;16)$.

Розв’язання

1. Позначимо густина першого металу ${\rho }_1=\rho$, тоді густина другого ${\rho }_2=\rho -1$.

2. Виразимо об'єми через маси та густини: $V_1=\frac{440}{\rho }$, $V_2=\frac{429}{\rho -1}$.

3. За умовою $V_2-V_1=5$, отже $\frac{429}{\rho -1}-\frac{440}{\rho }=5$.

4. Розв'яжемо рівняння: помножимо на $\rho (\rho -1)$, отримаємо $429\rho -440(\rho -1)=5\rho (\rho -1)$. Спростимо: $429\rho -440\rho +440=5{\rho }^2-5\rho$, тобто $-11\rho +440=5{\rho }^2-5\rho$.

5. Перенесемо все в один бік: $5{\rho }^2+6\rho -440=0$. Знайдемо корені дискримінантом або спробуємо підставити цілі числа. ${\rho }_1=8$, ${\rho }_2=-11$ (не підходить).

6. Отже, густина першого металу $8{\text{г/см}}^3$, другого $7{\text{г/см}}^3$. Перевірка: $V_1=55$, $V_2=429/7=61.28$ (не ціле). Перевіримо обчислення.
   Правильний розрахунок: $\frac{429}{\rho -1}-\frac{440}{\rho }=5$. При $\rho =8$: $V_1=55$, $V_2=429/7\approx 61.3$. Різниця не дорівнює 5.
   Перевірка умови: Можливо, я неправильно зрозумів "густина першого на 1 більша". Нехай ${\rho }_1=x$, ${\rho }_2=x+1$ (перший менший? Ні, в умові: "густина першого на 1 ... більша"). Тобто ${\rho }_1={\rho }_2+1$.
   Спробуємо інше значення. Якщо ${\rho }_1=8$, то ${\rho }_2=7$. $V_1=440/8=55$. $V_2=429/7\approx 61.28$. Різниця $6.28\ne 5$.
   Спробуємо знайти корені рівняння $5{\rho }^2+6\rho -440=0$ точніше. $D=36-4\cdot 5\cdot (-440)=36+8800=8836$. $\sqrt{8836}=94$.
   $\rho =\frac{-6\pm 94}{10}$. ${\rho }_1=\frac{88}{10}=8.8$, ${\rho }_2=\frac{-100}{10}=-10$.
   Отже, ${\rho }_1=8.8{\text{г/см}}^3$, ${\rho }_2=7.8{\text{г/см}}^3$. Перевірка: $V_1=440/8.8=50$, $V_2=429/7.8=55$. Різниця $55-50=5$. Все вірно.