ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 183

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 959–974 · 16 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 17. Геометрична прогресія Geometric Progression

Завдання 959

Знаходження n-го члена та суми прогресії

а) $q = 3$ , $b_{1} = 23$ , $S_{n} = 263 + 24$ ; б) $b_{1} = 1$ , $b_{n} = - 512$ , $S_{n} = - 341$ .

Розв’язання

Для пункту а): Знайдемо $n$ з рівняння $b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$ . Підставимо $23 \cdot (3)^{n - 1} = 263 + 24$ . Спростимо та знайдемо степінь, щоб визначити $n$ , а далі обчислимо суму.
Для пункту б): Знайдемо $n$ з рівняння $1 \cdot q^{n - 1} = - 512$ . Оскільки $b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$ , то $q^{n - 1} = - 512$ . Підставимо це у формулу суми $S_{n} = \frac{b _{1} ( b _{n} q - b _{1} )}{q - 1}$ або скористаємося зв'язком між членами.

Відповідь:

а) $n = 5$ , $S_{5} = 263 + 24$ ; б) $n = 10$ , $S_{10} = - 341$ .

Завдання 960

Знаходження членів змішаної прогресії

Три перші числа — геометрична прогресія ( $b_{1}, b_{2}, b_{3}$ ), три останні — арифметична ( $c_{1}, c_{2}, c_{3}$ ). Сума крайніх чисел $b_{1} + c_{3} = 21$ , сума середніх $b_{3} + c_{2} = 18$ .

Розв’язання

Нехай числа виглядають так: $x$ , $x q$ , $x q^{2}$ (геометрична) і $y - d$ , $y$ , $y + d$ (арифметична).
За умовою: $(y - d) + x = 21$ та $x q^{2} + y = 18$ . Також потрібно знайти зв'язок між частинами, але в умові не сказано, що вони утворюють одну послідовність, тому шукаємо будь-яке рішення.

Відповідь:

Числа можуть бути, наприклад: $3, 6, 12$ (геометрична) та $9, 10, 11$ (арифметична), де сума крайніх $3 + 11 = 14 \neq = 21$ . Правильне рішення знаходиться шляхом розв'язання системи. Один із варіантів: геометрична прогресія $3, 6, 9$ , арифметична $18, 15, 12$ (суми не підходять). Розв'язок: $x = 3, q = 2 \Rightarrow b_{1} = 3, b_{2} = 6, b_{3} = 12$ . Тоді $c_{3} = 21 - 3 = 18$ , $c_{2} = 18 - 12 = 6$ . Арифметична прогресія з середнім членом 6 і крайнім 18 неможлива ( $d$ буде від'ємним). Правильний розв'язок: $b_{1} = 3, b_{2} = 6, b_{3} = 9$ (сума середніх $9 + 9 = 18$ , крайні $3 + c_{3} = 21 \Rightarrow c_{3} = 18$ ). Арифметична прогресія з членами $c_{1}, 9, 18$ : різниця $d = 9$ . Числа: $0, 9, 18$ . Отже, числа: $3, 6, 9$ та $0, 9, 18$ .

Завдання 961

Знаходження трьох чисел геометричної прогресії за сумаю та добутком

Три числа $a, b, c$ утворюють геометричну прогресію. Сума $a + b + c = 21$ , добуток $ab c = 216$ .

Розв’язання

Нехай числа $\frac{b}{q}, b, b q$ . Тоді їхній добуток $ab c = \frac{b}{q} \cdot b \cdot b q = b^{3}$ .
Знайдемо $b$ : $b^{3} = 216 \Rightarrow b = 6$ .
Підставимо $b = 6$ у суму: $\frac{6}{q} + 6 + 6 q = 21$ . Розв'яжемо рівняння відносно $q$ : $\frac{6}{q} + 6 q = 15 \Rightarrow 6 + 6 q^{2} = 15 q \Rightarrow 6 q^{2} - 15 q + 6 = 0$ .
Розв'яжемо квадратне рівняння: $D = 225 - 144 = 81$ , $D = 9$ . Корені: $q_{1} = \frac{15 + 9}{12} = 2$ , $q_{2} = \frac{15 - 9}{12} = 0, 5$ .

Відповідь:

Числа: $3, 6, 12$ (при $q = 2$ ) або $12, 6, 3$ (при $q = 0, 5$ ).

Завдання 962

Добуток перших членів прогресії

П'ятий член геометричної прогресії дорівнює $b_{5} = 1$ . Знайти добуток дев'яти її перших членів.

Розв’язання

Запишемо вираз для добутку дев'яти членів: $P_{9} = b_{1} \cdot b_{2} \cdot \dots \cdot b_{9}$ .
Використаємо властивість геометричної прогресії $b_{k} \cdot b_{n - k + 1} = b_{1} \cdot b_{n}$ (добуток симетричних членів дорівнює добутку першого та останнього).
Групуємо члени: $(b_{1} \cdot b_{9}) \cdot (b_{2} \cdot b_{8}) \cdot (b_{3} \cdot b_{7}) \cdot (b_{4} \cdot b_{6}) \cdot b_{5}$ . Кожен дужковий доданок дорівнює $b_{1} \cdot b_{9}$ , а ми знаємо, що $b_{5} = 1$ .
Оскільки $b_{5}$ — середній член між першим і дев'ятим ( $5 = (1 + 9) /2$ ), то $b_{1} \cdot b_{9} = b_{5}^{2}$ . Отже, кожен з чотирьох парних доданків дорівнює $1^{2} = 1$ .
Підставимо значення: $P_{9} = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$ .

Відповідь:

Завдання 963

Добуток перших членів прогресії

Шостий член геометричної прогресії дорівнює $b_{6} = - 2$ . Знайти добуток одинадцяти її перших членів.

Розв’язання

Запишемо вираз для добутку одинадцяти членів: $P_{11} = b_{1} \cdot b_{2} \cdot \dots \cdot b_{11}$ .
Групуємо члени навколо середини: $(b_{1} \cdot b_{11}) \cdot (b_{2} \cdot b_{10}) \cdot (b_{3} \cdot b_{9}) \cdot (b_{4} \cdot b_{8}) \cdot (b_{5} \cdot b_{7}) \cdot b_{6}$ .
За властивістю геометричної прогресії кожен дужковий доданок дорівнює добутку першого та останнього члена, який у свою чергу дорівнює $b_{6}^{2}$ (оскільки $b_{1} \cdot b_{11} = b_{6}^{2}$ ).
Отже, маємо $(b_{6}^{2}) \cdot (b_{6}^{2}) \cdot (b_{6}^{2}) \cdot (b_{6}^{2}) \cdot (b_{6}^{2}) \cdot b_{6}$ . Це дорівнює $b_{6}^{10} \cdot b_{6} = b_{6}^{11}$ .
Підставимо значення $b_{6} = - 2$ : $P_{11} = (- 2)^{11}$ .
Обчислимо: $(- 2)^{11} = - 2048$ .

Відповідь:

$- 2048$

Завдання 964

Знаходження параметра прогресії

Числа $x - 2$ , $x + 1$ , $3 x - 3$ є послідовними членами геометричної прогресії. Знайти значення $x$ та члени цієї прогресії.

Розв’язання

Запишемо рівність для геометричної прогресії: $(x + 1)^{2} = (x - 2) (3 x - 3)$ .
Розкриємо дужки в обох частинах: $x^{2} + 2 x + 1 = 3 x^{2} - 3 x - 6 x + 6$ .
Спростимо рівняння: $x^{2} + 2 x + 1 = 3 x^{2} - 9 x + 6$ . Перенесемо всі доданки вліво: $2 x^{2} - 11 x + 5 = 0$ .
Знайдемо корені рівняння за формулою дискримінанта або розкладанням на множники. Дискримінант $D = (- 11)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 121 - 40 = 81$ .
Корені: $x_{1} = \frac{11 + 9}{4} = 5$ , $x_{2} = \frac{11 - 9}{4} = 0, 5$ .
Знайдемо члени прогресії для кожного кореня.
Для $x = 5$ : числа $3, 6, 12$ (прогресія з $q = 2$ ).
Для $x = 0, 5$ : числа $- 1, 5, 1, 5, - 4, 5$ (прогресія з $q = - 1$ ).

Відповідь:

$x_{1} = 5$ , члени: $3, 6, 12$ ; $x_{2} = 0, 5$ , члени: $- 1, 5, 1, 5, - 4, 5$ .

Завдання 965

Знаходження параметра геометричної прогресії

Знайти $x$ , щоб числа $x - 5$ , $x - 1$ і $2 x + 4$ утворювали геометричну прогресію. Знайти члени цієї прогресії.

Розв’язання

Запишемо рівність для середнього члена: $(x - 1)^{2} = (x - 5) (2 x + 4)$ .
Розкриємо дужки та розв'яжемо квадратне рівняння: $x^{2} - 2 x + 1 = 2 x^{2} - 6 x - 20 \Rightarrow x^{2} - 4 x - 21 = 0$ . Корені: $x_{1} = 7$ , $x_{2} = - 3$ .
Перевіримо отримані значення. При $x = 7$ : члени $2, 6, 18$ ( $q = 3$ ). При $x = - 3$ : члени $- 8, - 4, - 2$ ( $q = 0, 5$ ).

Відповідь:

$x = 7$ або $x = - 3$ . Члени прогресії: $2; 6; 18$ або $- 8; - 4; - 2$ .

Завдання 966

Знаходження пропущених членів послідовності

Знайти числа $x, y, z, t$ , щоб послідовність $x, y, - 2, z, - 8, t$ була геометричною прогресією.

Розв’язання

Знайдемо знаменник $q$ : $z = - 2 \cdot q$ , $- 8 = z \cdot q$ . Звідси $- 8 = (- 2 \cdot q) \cdot q \Rightarrow q^{2} = 4 \Rightarrow q = 2$ або $q = - 2$ .
Розглянемо випадок $q = 2$ : $x = - 2/ 2^{2} = - 0, 5$ , $y = - 0, 5 \cdot 2 = - 1$ , $z = - 2 \cdot 2 = - 4$ , $t = - 8 \cdot 2 = - 16$ .
Розглянемо випадок $q = - 2$ : $x = - 2/ (- 2)^{2} = - 0, 5$ , $y = - 0, 5 \cdot (- 2) = 1$ , $z = - 2 \cdot (- 2) = 4$ , $t = - 8 \cdot (- 2) = 16$ .

Відповідь:

$(x, y, z, t) = (- 0, 5; - 1; - 4; - 16)$ або $(- 0, 5; 1; 4; 16)$ .

Завдання 967

Знаходження трьох чисел за сумою та умовами прогресій

Три числа утворюють геометричну прогресію, їх сума $21$ . Якщо до першого додати $1$ , до другого $3$ , а до третього $2$ , отримані числа утворюють арифметичну прогресію. Знайти ці числа.

Розв’язання

Запишемо рівність різниць для арифметичної прогресії: $a q + 2 = a q^{2} - 1 \Rightarrow q (a - q) = - 3$ .
Складемо систему: ${a (1 + q + q^{2}) = 21 q^{2} - a q - 3 = 0$ . З першого рівняння $a = \frac{21}{1 + q + q ^{2}}$ . Підставимо у друге.
Після спрощень отримаємо квадратне рівняння відносно $q$ : $q^{4} + q^{3} - 5 q^{2} - 4 q - 3 = 0$ . Корені: $q = 1$ (відкидаємо, бо числа мають бути різними для прогресії), $q = - 1$ , $q = 3$ .
При $q = 3$ : $a (1 + 3 + 9) = 21 \Rightarrow 13 a = 21$ — не ціле. Перевіримо ще раз умову арифметичної прогресії: $(a + 3) - (a q + 1) = (a q^{2} + 2) - (a q + 3)$ .
Правильніший підхід: $a, a q, a q^{2}$ . Сума $S = 21$ . Нова послідовність $a + 1, a q + 3, a q^{2} + 2$ . Різниця: $(a q + 3) - (a + 1) = (a q^{2} + 2) - (a q + 3) \Rightarrow 2 + q (a - 1) = q^{2} a - 1 \Rightarrow a (q^{2} - q + 1) = 3$ .
Маємо систему: ${a (1 + q + q^{2}) = 21 a (q^{2} - q + 1) = 3$ . Поділимо перше на друге: $\frac{1 + q + q ^{2}}{q ^{2} - q + 1} = 7 \Rightarrow 1 + q + q^{2} = 7 q^{2} - 7 q + 7 \Rightarrow 6 q^{2} - 8 q + 6 = 0$ .
Дискримінант $D = 64 - 144 < 0$ . Помилка в логіці вище. Перевіримо умову: $(a + 3) - (a q + 1) = a (q^{2} + 2) - (a q + 3)$ ? Ні, різниця між першим і другим нових чисел дорівнює різниці між другим і третім.
$(a q + 3) - (a + 1) = (a q^{2} + 2) - (a q + 3)$ .
$a q + 2 = a q^{2} - 1 \Rightarrow a (q^{2} - q) = 3$ .
Система: ${a (1 + q + q^{2}) = 21 a (q^{2} - q) = 3$ . Поділимо: $\frac{1 + q + q ^{2}}{q ^{2} - q} = 7 \Rightarrow 1 + q + q^{2} = 7 q^{2} - 7 q \Rightarrow 6 q^{2} - 8 q - 1 = 0$ .
$D = 64 + 24 = 88$ . Це не дає гарних чисел. Перевіримо умову задачі ще раз: "до першого числа додати 1, до другого 3, а до третього 2".
Нехай числа $a, b, c$ . $a + b + c = 21$ . $b^{2} = a c$ .
$(a + 1), (b + 3), (c + 2)$ — арифметична прогресія.
$(b + 3) - (a + 1) = (c + 2) - (b + 3) \Rightarrow b - a + 2 = c - b - 1 \Rightarrow 2 b - a - c = - 3$ .
Додамо $a + b + c = 21$ та $2 b - a - c = - 3$ : $3 b = 18 \Rightarrow b = 6$ .
Тоді $a + c = 15$ , $a c = 36$ . $t^{2} - 15 t + 36 = 0$ . $(t - 3) (t - 12) = 0$ . Числа $3, 6, 12$ .

Відповідь:

Числа $3; 6; 12$ .

Завдання 968

Знаходження членів прогресії за умовами про арифметичну та геометричну прогресії

Сума трьох чисел, що утворюють арифметичну прогресію, дорівнює 18. Якщо до них додати відповідно 1, 3 і 17, то одержані числа утворять геометричну прогресію. Знайти ці числа.

Розв’язання

Позначимо шукані числа як $a - d, a, a + d$ . Оскільки їх сума дорівнює 18, маємо $(a - d) + a + (a + d) = 3 a = 18$ , звідки $a = 6$ .
Запишемо вирази для нових чисел: перше — $6 - d + 1 = 7 - d$ , друге — $6 + 3 = 9$ , третє — $6 + d + 17 = 23 + d$ .
Складемо рівняння за властивістю геометричної прогресії: $(7 - d) (23 + d) = 9^{2}$ .
Розкриємо дужки: $161 + 7 d - 23 d - d^{2} = 81$ , що дає $- d^{2} - 16 d + 80 = 0$ або $d^{2} + 16 d - 80 = 0$ .
Розв'язуємо квадратне рівняння: $D = 256 - 4 \cdot (- 80) = 576$ , $D = 24$ . Корені: $d_{1} = \frac{- 16 + 24}{2} = 4$ , $d_{2} = \frac{- 16 - 24}{2} = - 20$ .

Відповідь:

Числа: 2, 6, 10 (при $d = 4$ ) або -14, 6, 26 (при $d = - 20$ ).

Завдання 969

Доведення, що послідовність є геометричною прогресією

Довести, що задані послідовності $(x_{n})$ є геометричними прогресіями: а) $x_{n} = 5 \cdot 2^{n + 1}$ ; б) $x_{n} = 0, 4^{1 + n}$ .

Розв’язання

а) 1. Запишемо наступний член послідовності: $x_{n + 1} = 5 \cdot 2^{(n + 1) + 1} = 5 \cdot 2^{n + 2}$ .
Знайдемо відношення: $\frac{x _{n + 1}}{x _{n}} = \frac{5 \cdot 2 ^{n + 2}}{5 \cdot 2 ^{n + 1}} = \frac{2 ^{n + 2}}{2 ^{n + 1}} = 2$ . Оскільки відношення стало, це геометрична прогресія.
б) 1. Запишемо наступний член: $x_{n + 1} = 0, 4^{1 + (n + 1)} = 0, 4^{n + 2}$ .
Знайдемо відношення: $\frac{x _{n + 1}}{x _{n}} = \frac{0 , 4 ^{n + 2}}{0 , 4 ^{n + 1}} = 0, 4$ . Відношення стало, отже, це геометрична прогресія.

Відповідь:

а) Так; б) Так.

Завдання 970

Доведення тотожності для членів геометричної прогресії

Довести, що якщо $a, b, c$ — геометрична прогресія, то $(a^{2} + b^{2}) c = (b^{2} + c^{2}) a$ .

Розв’язання

Розкриємо дужки у виразі лівої частини: $(a^{2} + b^{2}) c = a^{2} c + b^{2} c$ .
Розкриємо дужки у виразі правої частини: $(b^{2} + c^{2}) a = a b^{2} + c^{2} a$ .
Оскільки $a, b, c$ — геометрична прогресія, маємо $b^{2} = a c$ . Підставимо це у ліву частину: $a^{2} c + (a c) c = a^{2} c + a c^{2}$ .
Перепишемо праву частину, виходячи з того ж рівняння $a b^{2} = a (a c) = a^{2} c$ та $c^{2} a$ : $a b^{2} + c^{2} a = a^{2} c + a c^{2}$ .
Порівнюємо: ліва частина стала $a^{2} c + a c^{2}$ , права частина також $a^{2} c + a c^{2}$ . Рівність доведена.

Відповідь:

Доведено.

Завдання 971

Доказ властивостей прогресій

Дано геометричну прогресію $b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}, \dots$ . Потрібно довести, що послідовності а) $b_{1} b_{2}, b_{2} b_{3}, b_{3} b_{4}, \dots$ і б) $b_{1} + b_{2}, b_{2} + b_{3}, b_{3} + b_{4}, \dots$ також є геометричними прогресіями.

Розв’язання

Розглянемо послідовність а). Перший член $a_{1} = b_{1} b_{2}$ , другий $a_{2} = b_{2} b_{3}$ . Знайдемо відношення $\frac{a _{2}}{a _{1}} = \frac{b _{2} b _{3}}{b _{1} b _{2}} = \frac{b _{3}}{b _{1}}$ . Оскільки $b_{3} = b_{1} q^{2}$ , то $\frac{a _{2}}{a _{1}} = q^{2}$ . Це стала величина, отже, послідовність є геометричною.
Розглянемо послідовність б). Перший член $c_{1} = b_{1} + b_{2}$ , другий $c_{2} = b_{2} + b_{3}$ . Знайдемо відношення $\frac{c _{2}}{c _{1}} = \frac{b _{2} ( 1 + q )}{b _{1} ( 1 + q )} = \frac{b _{2}}{b _{1}} = q$ . Оскільки $b_{2} = b_{1} q$ , то множник $(1 + q)$ скорочується. Відношення дорівнює знаменнику вихідної прогресії, що є сталою величиною.

Відповідь:

а) послідовність $b_{1} b_{2}, b_{2} b_{3}, \dots$ є геометричною з знаменником $q^{2}$ ; б) послідовність $b_{1} + b_{2}, b_{2} + b_{3}, \dots$ є геометричною з тим самим знаменником $q$ .

Завдання 972

Доказ властивостей різниці членів прогресії

Дано геометричну прогресію $b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}, \dots$ . Потрібно довести, що послідовність $b_{1} - b_{2}, b_{2} - b_{3}, b_{3} - b_{4}, \dots$ також є геометричною прогресією.

Розв’язання

Запишемо перші два члени нової послідовності: $d_{1} = b_{1} - b_{2}$ і $d_{2} = b_{2} - b_{3}$ .
Виразимо $b_{2} = b_{1} q$ та $b_{3} = b_{2} q = b_{1} q^{2}$ . Підставимо це у вирази для $d_{1}$ і $d_{2}$ : $d_{1} = b_{1} (1 - q)$ , $d_{2} = b_{1} q (1 - q)$ .
Знайдемо відношення $\frac{d _{2}}{d _{1}} = \frac{b _{1} q ( 1 - q )}{b _{1} ( 1 - q )} = q$ . Оскільки відношення дорівнює знаменнику вихідної прогресії $q$ , нова послідовність є геометричною.

Відповідь:

Послідовність $b_{1} - b_{2}, b_{2} - b_{3}, \dots$ є геометричною прогресією з тим самим знаменником $q$ .

Завдання 973

Розміщення чисел у квадраті

Числа геометричної прогресії $1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256$ потрібно розмістити у дев'яти клітинках квадрата (3x3) так, щоб добутки чисел в кожному рядку, стовпчику та діагоналі були рівні.

Розв’язання

Перевіримо добутки: $1 \cdot 2 \cdot 4 = 8$ ; $2 \cdot 4 \cdot 8 = 64$ . Добуток усіх чисел $P = 2^{36}$ . Добуток кожного рядка має бути $R = 3 P = 4096$ .
Оскільки числа утворюють геометричну прогресію з $q = 2$ , їх можна розглянути як ступені двійки: $2^{0}, 2^{1}, \dots, 2^{8}$ . Сума показників ступенів у кожному рядку має бути $12$ (оскільки $2^{x + y + z} = 2^{12}$ ).
Розміщення чисел:
Рядок 1: $64, 16, 4$ ( $6 \cdot 4 + 2 = 12$ ) -> Добуток $64 \cdot 16 \cdot 4 = 4096$ .
Рядок 2: $32, 8, 1$ ( $5 + 3 + 0 = 8$ ? Ні, треба інше). Спробуймо класичне розміщення для ступенів:
$6432 \dots 168 \dots 41 \dots$ — це не працює просто так.
Правильне розв'язання для задачі про магічний квадрат з геометричною прогресією: числа розміщуються так, щоб сума показників ступенів була однаковою.
Приклад правильного варіанту (одне з можливих):
$64216132128 84 \dots$ — перевірка складна без малюнка.

Відповідь:

Числа розміщуються в квадраті 3x3 так, щоб сума показників ступенів двійки ( $0$ до $8$ ) у кожному рядку, стовпчику та діагоналі дорівнювала $12$ . Один із можливих варіантів розташування (рядки зверху вниз):
$64, 1, 8$ (добуток $512 \neq = 4096$ , помилка в логіці підрахунку).
Перерахуємо: Добуток усіх чисел $2^{36}$ . Добуток рядка $2^{12} = 4096$ .
Правильне розташування (одне з варіантів):
$64, 16, 4$ — ні, добутки не вийдуть.
Спробуємо інший підхід: розміщення за діагоналями.
$641832 2 64 \dots$
Оскільки точне розташування без малюнка важко перевірити візуально, але умова виконується за принципом магічного квадрата ступенів.
Важливо: У завданні неможливо точно відтворити рисунок без зображення, але спосіб розв'язання полягає у побудові магічного квадрата для ступенів $0, 1, \dots, 8$ , де сума в кожному напрямку дорівнює $12$ .

Завдання 974

Тиск повітря після розрідження

Після кожного руху поршня з посудини забирається $5%$ наявного в ній повітря. Початковий тиск становив $760 мм рт . ст .$ . Потрібно визначити тиск після десяти таких рухів поршня.

Розв’язання

Визначаємо відношення між сусідніми членами прогресії (знаменник): $q = 1 - \frac{5}{100} = 0, 95$ .
Записуємо формулу для знаходження тиску після $n$ -го руху: $P_{10} = 760 \cdot (0, 95)^{10}$ .
Обчислюємо значення $(0, 95)^{10} \approx 0, 5987$ і множимо на початковий тиск: $760 \cdot 0, 5987 \approx 455 мм рт . ст .$

Відповідь:

Тиск повітря всередині посудини становить приблизно $455 мм рт . ст .$