Сторінка 182

Розв’язання

1. Підпункт а): $b_1=3$, $b_2=-6$. Знаменник $q=\frac{-6}{3}=-2$. Формула: $b_n=3\cdot (-2{)}^{n-1}$.

2. Підпункт б): $b_1=-0,1$, $b_2=-1$. Знаменник $q=\frac{-1}{-0,1}=10$. Формула: $b_n=-0,1\cdot 10^{n-1}$.

3. Підпункт в): $b_1=12$, $b_2=8$. Знаменник $q=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$. Формула: $b_n=12\cdot (\frac{2}{3}{)}^{n-1}$.

4. Підпункт г): $b_1=\frac{2}{5}$, $b_2=4$. Знаменник $q=\frac{4}{2/5}=4\cdot \frac{5}{2}=10$. Формула: $b_n=\frac{2}{5}\cdot 10^{n-1}$.

Розв’язання

1. Запишемо формулу для n-го члена: $b_n=3\cdot 2^{n-1}$.

2. Прирівняємо до шуканого числа: $3\cdot 2^{n-1}=384$.

3. Поділимо обидві частини на 3: $2^{n-1}=\frac{384}{3}=128$.

4. Знайдемо степінь двійки, що дорівнює 128. Оскільки $2^7=128$, то $n-1=7$.

5. Знайдемо номер члена: $n=7+1=8$. Оскільки $n=8$ — натуральне число, то такий член існує.

Розв’язання

1. Знайдемо знаменник прогресії: $q=\frac{8/27}{4/81}=\frac{8}{27}\cdot \frac{81}{4}=6$.

2. Перший член прогресії $b_1=\frac{4}{81}$.

3. Складемо рівняння для знаходження номера члена: $\frac{4}{81}\cdot 6^{n-1}=64$.

4. Розв'яжемо рівняння: $6^{n-1}=64\cdot \frac{81}{4}=16\cdot 81=2^4\cdot 3^4$. Оскільки основа має бути однаковою, перевіримо степені. Помножимо обидві частини на $\frac{1}{6}$ (або поділимо на $q$): $\frac{4}{81}\cdot 6^{n-1}=64\Rightarrow 6^{n-1}=\frac{64\cdot 81}{4}=16\cdot 81$. Це не зводиться до простої степені числа 6. Перевіримо обчислення: $b_1=4/81,q=6$. $b_n=(4/81)\ast 6^{n-1}=64$. $6^{n-1}=64\ast 81/4=16\ast 81=2^4\ast 3^4$. Тут є помилка в логіці, бо основа не збігається. Перепишемо: $b_n=b_1{q}^{n-1}$. $\frac{4}{81}\cdot 6^{n-1}=64$. $6^{n-1}=64\cdot \frac{81}{4}=16\cdot 81=2^4\cdot 3^4$. Тут не виходить ціле число. Перевіримо умову знову: $\frac{4}{81},\frac{8}{27}$. $q=6$. $b_1=4/81$. $b_n=(4/81)\ast 6^{n-1}=64$. $6^{n-1}=64\ast 81/4=16\ast 81$. Це не є степенем числа 6. Можливо, я неправильно зрозумів число 64? Ні, в умові 64. Перевіримо ще раз: $b_2=(4/81)\ast 6=24/81=8/27$. Все вірно. Чому не виходить? Ого, $16\cdot 81=1300$? Ні, $16\cdot 81=1296$. $\sqrt{1296}=36$. $36^2=1296$. $6^{n-1}=1296$. $6^4=1296$. Отже, $n-1=4\Rightarrow n=5$.

Розв’язання

1. Запишемо систему через $b_1$ та $q$: $\{\begin{array}{l}{b}_1+b_1{q}^2=10\\ b_{1}q+b_1{q}^3=30\end{array}$.

2. Спростимо друге рівняння, винесемо спільний множник: $b_{1}q(1+q^2)=30$.

3. Поділимо друге рівняння на перше (або розглянемо відношення): $\frac{b_{1}q(1+q^2)}{b_1(1+q^2)}=\frac{30}{10}\Rightarrow q=3$.

4. Підставимо $q=3$ у перше рівняння: $b_1+b_1\cdot 9=10\Rightarrow 10b_1=10\Rightarrow b_1=1$.

Розв’язання

1. Запишемо систему через $b_1$ та $q$: $\{\begin{array}{l}{b}_1{q}^4-b_1=15\\ b_1{q}^3-b_{1}q=6\end{array}$.

2. Спростимо друге рівняння: $b_{1}q(q^2-1)=6$.

3. Поділимо перше рівняння на друге: $\frac{b_1(q^4-1)}{b_{1}q(q^2-1)}=\frac{15}{6}$. Оскільки $q^4-1=(q^2-1)(q^2+1)$, скорочуємо $(q^2-1)$. Отримуємо $\frac{q^2+1}{q}=2,5\Rightarrow q+\frac{1}{q}=2,5$.

4. Розв'яжемо рівняння відносно $q$: $q^2-2,5q+1=0\Rightarrow 2q^2-5q+2=0$. Корені: $q_1=2$, $q_2=0,5$.

5. Знайдемо $b_1$ для кожного випадку. Якщо $q=2$: $b_1(2^4-1)=15\Rightarrow 15b_1=15\Rightarrow b_1=1$. Перевірка другого рівняння: $1\cdot 2(4-1)=6$ — підходить. Якщо $q=0,5$: $b_1((0,5{)}^4-1)=15\Rightarrow b_1(-0,9375)=15$, що дає дрібне число, але перевіримо друге: $b_1(0,5)(0,25-1)=6\Rightarrow b_1(0,5)(-0,75)=6\Rightarrow -0,375b_1=6$, теж не ціле. Але в умові не сказано про цілі числа. Перевіримо ще раз обчислення для $q=0,5$: $b_1(1/16-1)=15\Rightarrow b_1(-15/16)=15\Rightarrow b_1=-16$. Перевірка другого: $-16\cdot 0,5\cdot (0,25-1)=-8\cdot (-0,75)=6$. Підходить. Отже, два варіанти розв'язку.

Розв’язання

1. Позначимо другий член через $b_2=x$ та четвертий через $b_4=y$. За умовою маємо систему: $\{\begin{array}{l}x+y=45\\ xy=324\end{array}$.

2. Розв'яжемо рівняння $t^2-45t+324=0$. Дискримінант $D=45^2-4\cdot 324=2025-1296=729$. Корені: $t_{1,2}=\frac{45\pm 27}{2}$. Отримуємо $x_1=36$ та $x_2=9$.

3. Оскільки прогресія зростаюча ($b_4>b_2$), то $y=36$ і $x=9$. Знайдемо знаменник: $b_4=b_2\cdot q^2\Rightarrow 36=9\cdot q^2\Rightarrow q^2=4\Rightarrow q=2$ (бо прогресія зростає).

4. Знайдемо перший член: $b_2=b_1\cdot q\Rightarrow 9=b_1\cdot 2\Rightarrow b_1=4,5$.

Розв’язання

1. Знайдемо перший член ($n=1$): $c_1=(-3{)}^{1+2}=(-3{)}^3=-27$.

2. Знайдемо другий член ($n=2$): $c_2=(-3{)}^{2+2}=(-3{)}^4=81$.

3. Знайдемо третій член ($n=3$): $c_3=(-3{)}^{3+2}=(-3{)}^5=-243$.

4. Знайдемо четвертий член ($n=4$): $c_4=(-3{)}^{4+2}=(-3{)}^6=729$. Сума: $S_4=-27+81-243+729=540$.

Розв’язання

1. Знайдемо перший член ($n=1$): $x_1=3\cdot 7^1=21$.

2. Знайдемо другий член ($n=2$): $x_2=3\cdot 7^2=3\cdot 49=147$.

3. Знайдемо третій член ($n=3$): $x_3=3\cdot 7^3=3\cdot 343=1029$.

4. Знайдемо четвертий член ($n=4$): $x_4=3\cdot 7^4=3\cdot 2401=7203$. Сума: $S_4=21+147+1029+7203=8400$.

Розв’язання

1. Перетворимо числа на дроби: $40\frac{1}{2}=\frac{81}{2}$, $5\frac{1}{3}=\frac{16}{3}$. Оскільки вставляємо 4 числа, прогресія матиме $4+2=6$ членів.

2. Знайдемо знаменник $q$: $\frac{16}{3}=\frac{81}{2}\cdot q^5\Rightarrow q^5=\frac{16}{3}\cdot \frac{2}{81}=\frac{32}{243}$. Звідси $q=\sqrt[5]{\frac{32}{243}}=\frac{2}{3}$.

3. Знайдемо пропущені члени: $b_2=\frac{81}{2}\cdot \frac{2}{3}=27$; $b_3=27\cdot \frac{2}{3}=18$; $b_4=18\cdot \frac{2}{3}=12$; $b_5=12\cdot \frac{2}{3}=8$.

4. Обчислимо суму за формулою: $S_6=\frac{\frac{81}{2}((\frac{2}{3}{)}^6-1)}{\frac{2}{3}-1}=\frac{40,5(\frac{64}{729}-1)}{-\frac{1}{3}}=136$.

Розв’язання

1. Перетворимо числа на дроби: $8=\frac{32}{4}$, $60\frac{3}{4}=\frac{243}{4}$. Прогресія має 6 членів.

2. Знайдемо знаменник $q$: $\frac{243}{4}=8\cdot q^5\Rightarrow q^5=\frac{243}{32}$. Звідси $q=\sqrt[5]{\frac{243}{32}}=\frac{3}{2}$.

3. Знайдемо пропущені члени: $b_2=8\cdot \frac{3}{2}=12$; $b_3=12\cdot \frac{3}{2}=18$; $b_4=18\cdot \frac{3}{2}=27$; $b_5=27\cdot \frac{3}{2}=40,5$.

4. Обчислимо суму за формулою: $S_6=\frac{8((\frac{3}{2}{)}^6-1)}{\frac{3}{2}-1}=\frac{8(\frac{729}{64}-1)}{\frac{1}{2}}=16\cdot \frac{685}{64}=\frac{685}{4}=171,25$.

Розв’язання

1. Знайдемо перші члени: $b_1=1$; $b_2=3\cdot 1=3$; $b_3=3\cdot 3=9$; $b_4=27$. Це геометрична прогресія з $b_1=1,q=3$.

2. Запишемо формулу $n$-го члена: $b_n=b_1\cdot q^{n-1}=1\cdot 3^{n-1}=3^{n-1}$.

3. Обчислимо суму шести перших членів ($n=6$): $S_6=\frac{1\cdot (3^6-1)}{3-1}=\frac{729-1}{2}=\frac{728}{2}=364$.

Розв’язання

1. Визначаємо перші члени: $c_1=16$. Оскільки $c_n=0,5c_{n-1}$, знаменник $q=0,5$. Другий член $c_2=16\cdot 0,5=8$, третій $c_3=8\cdot 0,5=4$.

2. Записуємо формулу $n$-го члена: $c_n=16\cdot (0,5{)}^{n-1}$.

3. Обчислюємо суму восьми членів за формулою $S_8=\frac{16(1-(0,5{)}^8)}{1-0,5}$. Спростимо: $S_8=\frac{16(1-\frac{1}{256})}{0,5}=32(1-\frac{1}{256})=32-\frac{32}{256}=32-\frac{1}{8}=31,875$.

Розв’язання

1. Випадок а): Підставимо значення в формулу суми: $20\frac{1}{3}=\frac{27(1-(-\frac{1}{3}{)}^n)}{1-(-\frac{1}{3})}$. Спростимо дріб: $\frac{67}{3}=\frac{27(1-(-\frac{1}{3}{)}^n)}{\frac{4}{3}}$. Помножимо на $\frac{4}{3}$: $67\cdot \frac{4}{9}=27(1-(-\frac{1}{3}{)}^n)$. Це виглядає складним, спробуємо інший підхід. Знайдемо $b_n$ через суму та перші члени? Ні, краще розв'язати рівняння відносно $q^n$. $\frac{67}{3}=\frac{27(1-(-\frac{1}{3}{)}^n)}{4/3}\Rightarrow \frac{67}{3}\cdot \frac{4}{3}=27(1-(-\frac{1}{3}{)}^n)\Rightarrow \frac{268}{9}=27-27(-\frac{1}{3}{)}^n$. Це не виходить гарно. Перевіримо умову: $S_n=20\frac{1}{3}=\frac{67}{3}$. Формула $S_n=\frac{b_1-b_{n+1}}{1-q}$. Тоді $\frac{67}{3}=\frac{27-b_{n+1}}{4/3}\Rightarrow 67\cdot \frac{4}{9}=27-b_{n+1}\Rightarrow \frac{268}{9}=27-b_{n+1}$. Це не ціле число. Можливо, я неправильно зрозумів умову або є помилка в моїх обчисленнях. Давайте спробуємо підставити $n=3$: $S_3=\frac{27(1-(-1/27))}{4/3}=\frac{27(28/27)}{4/3}=28\cdot \frac{3}{4}=21$. Не підходить. Спробуємо $n=5$: $S_5=\frac{27(1-(1/243))}{4/3}=\frac{27(242/243)}{4/3}=\frac{242/9}{4/3}=\frac{242}{12}=20\frac{2}{12}=20\frac{1}{6}$. Ближче. Спробуємо $n=4$: $S_4=\frac{27(1-(1/81))}{4/3}=\frac{27(80/81)}{4/3}=\frac{80/3}{4/3}=20$. Ой, $20\frac{1}{3}$ це $\frac{61}{3}$. Тоді $S_n=\frac{61}{3}$. $\frac{27(1-(-1/3{)}^n)}{4/3}=\frac{61}{3}\Rightarrow 27(1-(-1/3{)}^n)=\frac{61}{3}\cdot \frac{4}{3}=\frac{244}{9}$. $1-(-1/3{)}^n=\frac{244}{243}$. Це неможливо, бо $\frac{244}{243}>1$, а $(-1/3{)}^n$ має бути від'ємним або меншим за 1. Очевидно, що $q=-\frac{1}{3}$ дає чергування знаків. Перевіримо ще раз: $S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$. $\frac{67}{3}=\frac{27(1-(-1/3{)}^n)}{4/3}$. $67/3\ast 4/3=27(1-(-1/3{)}^n)$. $268/9=27-27(-1/3{)}^n$. $27(-1/3{)}^n=27-268/9=(243-268)/9=-25/9$. $(-1/3{)}^n=-25/243$. Це не ступінь з цілим показником. Можливо, в умові помилка або я бачу неправильно. Перевіримо ще раз числа: $b_1=27,q=-1/3,S_n=20\frac{1}{3}$. $20\frac{1}{3}=61/3$. $\frac{27(1-(-1/3{)}^n)}{4/3}=\frac{61}{3}$. $27\ast 3/4(1-(-1/3{)}^n)=61/3$. $81/4(1-(-1/3{)}^n)=61/3$. $1-(-1/3{)}^n=\frac{61}{3}\cdot \frac{4}{81}=\frac{244}{243}$. Це більше 1, отже $(-1/3{)}^n$ має бути від'ємним і меншим за 0. Але $\frac{244}{243}$ більше 1, отже $1-x>1\Rightarrow x<0$. Так, $x=(-1/3{)}^n$. Тоді $(-1/3{)}^n=1-\frac{244}{243}=-\frac{1}{243}$. Знайдемо $n$:

2. Випадок б): Дано $b_1=3,b_n=96,S_n=189$. Знайдемо знаменник $q$. Використаємо властивість: $S_n=\frac{b_1-b_{n+1}}{1-q}$, де $b_{n+1}=b_n\cdot q=96q$. Тоді $189=\frac{3-96q}{1-q}$. $189(1-q)=3-96q\Rightarrow 189-189q=3-96q\Rightarrow 186=93q\Rightarrow q=2$. Тепер знайдемо $n$ за формулою $b_n=b_1\cdot q^{n-1}$. $96=3\cdot 2^{n-1}\Rightarrow 32=2^{n-1}\Rightarrow 2^5=2^{n-1}\Rightarrow n-1=5\Rightarrow n=6$.