ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 181

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 936–944 · 9 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 17. Геометрична прогресія Geometric Progression

Завдання 936

Знаходження знаменника прогресії

а) Перші три члени: $1$ , $2$ , $2$ . б) Перші три члени: $64$ , $- 32$ , $16$ .

Розв’язання

а) Знаходимо знаменник: $q = \frac{2}{1} = 2$ . Перевіряємо наступне число: $2 = 2 \cdot 2$ — правильно.
б) Знаходимо знаменник: $q = \frac{- 32}{64} = - 0, 5$ . Перевіряємо наступне число: $16 = (- 32) \cdot (- 0, 5)$ — правильно.

Відповідь:

а) $q = 2$ ; б) $q = - 0, 5$ .

Завдання 937

Перевірка властивості середніх ліній

Дано трикутник $A B C$ та послідовність його середніх ліній $A_{1} C_{1}$ , $A_{2} C_{2}$ , $A_{3} C_{3}$ (мал. 17.1). Чи утворюють довжини відрізків $A C, A_{1} C_{1}, A_{2} C_{2}, \dots$ геометричну прогресію?

Розв’язання

За властивістю середніх ліній, $A_{1} C_{1} = \frac{1}{2} A C$ .
Аналогічно, $A_{2} C_{2} = \frac{1}{2} A_{1} C_{1}$ , тобто $A_{2} C_{2} = \frac{1}{4} A C$ .
Оскільки відношення кожного наступного члена до попереднього дорівнює $\frac{1}{2}$ , послідовність є геометричною прогресією з знаменником $q = 0, 5$ .

Відповідь:

Так, довжини відрізків утворюють геометричну прогресію.

Завдання 938

Обчислення суми членів прогресії

Знайти суму $n$ перших членів геометричної прогресії за формулою $S_{n} = \frac{b _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}$ , якщо: а) $b_{1} = - 3$ , $q = 3$ , $n = 6$ ; б) $b_{1} = 2, 5$ , $q = 0, 4$ , $n = 4$ ; в) $b_{1} = 4$ , $q = - 2$ , $n = 10$ ; г) $b_{1} = \frac{5}{27}$ , $q = 3$ , $n = 6$ .

Розв’язання

а) $S_{6} = \frac{- 3 ( 3 ^{6} - 1 )}{3 - 1} = \frac{- 3 ( 729 - 1 )}{2} = \frac{- 3 \cdot 728}{2} = - 3 \cdot 364 = - 1092$ .
б) $S_{4} = \frac{2 , 5 ( 0 , 4 ^{4} - 1 )}{0 , 4 - 1} = \frac{2 , 5 ( 0 , 0256 - 1 )}{- 0 , 6} = \frac{2 , 5 ( - 0 , 9744 )}{- 0 , 6} = \frac{- 2 , 436}{- 0 , 6} = 4, 06$ .
в) $S_{10} = \frac{4 (( - 2 ) ^{10} - 1 )}{- 2 - 1} = \frac{4 ( 1024 - 1 )}{- 3} = \frac{4 \cdot 1023}{- 3} = 4 \cdot (- 341) = - 1364$ .
г) $S_{6} = \frac{\frac{5}{27} ( 3 ^{6} - 1 )}{3 - 1} = \frac{\frac{5}{27} ( 728 )}{2} = \frac{5 \cdot 728}{54} = \frac{3640}{54} = \frac{1820}{27}$ .

Відповідь:

а) $- 1092$ ; б) $4, 06$ ; в) $- 1364$ ; г) $\frac{1820}{27}$ .

Завдання 939

Сума членів прогресії

Знайти суму $n$ перших членів геометричної прогресії $(b_{n})$ , якщо:
а) $b_{1} = 1$ , $q = 2$ , $n = 9$ ;
б) $b_{1} = 1$ , $q = \frac{1}{2}$ , $n = 8$ ;
в) $b_{1} = - \frac{1}{8}$ , $q = 2$ , $n = 10$ ;
г) $b_{1} = 81$ , $q = \frac{1}{3}$ , $n = 8$ .

Розв’язання

а) $S_{9} = \frac{1 \cdot ( 2 ^{9} - 1 )}{2 - 1} = \frac{512 - 1}{1} = 511$ .
б) $S_{8} = \frac{1 \cdot (( \frac{1}{2} ) ^{8} - 1 )}{\frac{1}{2} - 1} = \frac{\frac{1}{256} - 1}{- \frac{1}{2}} = \frac{- \frac{255}{256}}{- \frac{1}{2}} = \frac{255}{128}$ .
в) $S_{10} = \frac{- \frac{1}{8} \cdot ( 2 ^{10} - 1 )}{2 - 1} = - \frac{1}{8} \cdot (1024 - 1) = - \frac{1023}{8}$ .
г) $S_{8} = \frac{81 \cdot (( \frac{1}{3} ) ^{8} - 1 )}{\frac{1}{3} - 1} = \frac{81 \cdot ( \frac{1}{6561} - 1 )}{- \frac{2}{3}} = \frac{81 \cdot ( - \frac{6560}{6561} )}{- \frac{2}{3}} = \frac{- \frac{80}{79}}{- \frac{2}{3}} = \frac{80}{79} \cdot \frac{3}{2} = \frac{120}{79}$ .

Відповідь:

а) $511$ ; б) $\frac{255}{128}$ ; в) $- \frac{1023}{8}$ ; г) $\frac{120}{79}$ .

Завдання 940

Сума шести членів прогресії

Знайти суму перших шести членів геометричної прогресії:
а) $5, 10, \dots$ ;
б) $32, - 16, \dots$ ;
в) $3, 3, 3, 3, 3, 3, \dots$ .

Розв’язання

а) $b_{1} = 5$ , $q = \frac{10}{5} = 2$ . $S_{6} = \frac{5 ( 2 ^{6} - 1 )}{2 - 1} = 5 (64 - 1) = 5 \cdot 63 = 315$ .
б) $b_{1} = 32$ , $q = \frac{- 16}{32} = - \frac{1}{2}$ . $S_{6} = \frac{32 (( - \frac{1}{2} ) ^{6} - 1 )}{- \frac{1}{2} - 1} = \frac{32 ( \frac{1}{64} - 1 )}{- \frac{3}{2}} = \frac{32 ( - \frac{63}{64} )}{- \frac{3}{2}} = \frac{- \frac{63}{2}}{- \frac{3}{2}} = 21$ .
в) $b_{1} = 3$ , $q = 1$ . Оскільки знаменник дорівнює 1, прогресія є арифметичною (або сталою), сума обчислюється як $S_{n} = b_{1} \cdot n$ . $S_{6} = 3 \cdot 6 = 18$ .

Відповідь:

а) $315$ ; б) $21$ ; в) $18$ .

Завдання 941

Сума восьми членів прогресії

Знайти суму восьми перших членів геометричної прогресії:
а) $1, 2, 4, 8, \dots$ ;
б) $1024, 512, 256, \dots$ ;
в) $5, - 5, 5, - 5, \dots$ .

Розв’язання

а) $b_{1} = 1$ , $q = 2$ . $S_{8} = \frac{1 ( 2 ^{8} - 1 )}{2 - 1} = 256 - 1 = 255$ .
б) $b_{1} = 1024$ , $q = \frac{512}{1024} = \frac{1}{2}$ . $S_{8} = \frac{1024 (( \frac{1}{2} ) ^{8} - 1 )}{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1024 ( \frac{1}{256} - 1 )}{- \frac{1}{2}} = \frac{1024 ( - \frac{255}{256} )}{- \frac{1}{2}} = (- 8) \cdot (- 2) \cdot 255 = 16 \cdot 255 = 4080$ .
в) $b_{1} = 5$ , $q = - 1$ . $S_{8} = \frac{5 (( - 1 ) ^{8} - 1 )}{- 1 - 1} = \frac{5 ( 1 - 1 )}{- 2} = 0$ . (Або просто: сума парної кількості членів з чергуванням плюс/мінус дорівнює нулю).

Відповідь:

а) $255$ ; б) $4080$ ; в) $0$ .

Завдання 942

Знаходження першого члена прогресії за сумою та знаменником

Знаменник геометричної прогресії $q = \frac{2}{3}$ , а сума чотирьох перших її членів дорівнює 65. Знайти перший член цієї прогресії ( $b_{1}$ ).

Розв’язання

Запишемо формулу для суми 4-х членів: $S_{4} = \frac{b _{1} ( q ^{4} - 1 )}{q - 1}$ .
Підставимо числові значення $q = \frac{2}{3}$ та $S_{4} = 65$ у формулу: $65 = \frac{b _{1} ( ( \frac{2}{3} ) ^{4} - 1 )}{\frac{2}{3} - 1}$ .
Обчислимо ступінь і дріб у дужках: $(\frac{2}{3})^{4} = \frac{16}{81}$ , отже $\frac{16}{81} - 1 = - \frac{65}{81}$ . Знаменник дробу: $\frac{2}{3} - 1 = - \frac{1}{3}$ .
Спростимо рівняння: $65 = \frac{b _{1} \cdot ( - \frac{65}{81} )}{- \frac{1}{3}} = b_{1} \cdot \frac{65}{81} \cdot 3 = b_{1} \cdot \frac{65}{27}$ .
Знайдемо $b_{1}$ : $b_{1} = 65 : \frac{65}{27} = 65 \cdot \frac{27}{65} = 27$ .

Відповідь:

Перший член прогресії дорівнює 27.

Завдання 943

Старовинна задача про плату та милостиню

Бідняк працює 14 днів (два тижні). Плата збільшується щодня на 1 крб, починаючи з 1 крб (арифметична прогресія). Милостиня збільшується вдвічі щодня, починаючи з 1 копійки (геометрична прогресія). Знайти загальну суму отриманих грошей багатим.

Розв’язання

Розглянемо плату (арифметична прогресія): $a_{1} = 1$ , різниця $d = 1$ , кількість днів $n = 14$ . Знайдемо 14-й член: $a_{14} = 1 + (14 - 1) \cdot 1 = 14$ . Сума плати: $S_{плата} = \frac{14 ( 1 + 14 )}{2} = 7 \cdot 15 = 105$ крб.
Розглянемо милостиню (геометрична прогресія): $b_{1} = 1$ , знаменник $q = 2$ , кількість днів $n = 14$ . Сума милостині: $S_{мил} = \frac{1 ( 2 ^{14} - 1 )}{2 - 1} = 2^{14} - 1 = 16384 - 1 = 16383$ копійки.
Переведемо милостиню в крб: $16383 копійки = 163 крб 83 копійки$ .
Обчислимо загальну суму: $105 + 163, 83 = 169, 83$ (крб).

Відповідь:

Багатий отримав 105 крб плати та 163 крб 83 копійки милостині, разом 169 крб 83 копійки.

Завдання 944

Задача Ейлера про ціну коня за цвяхи

Ціна першого цвяха — 1 пфеніг, кожного наступного вдвічі дорожче ( $q = 2$ ). Кількість цвяхів $n = 32$ . Знайти загальну суму (ціну коня).

Розв’язання

Запишемо формулу для суми цін всіх 32 цвяхів: $S_{32} = \frac{1 ( 2 ^{32} - 1 )}{2 - 1}$ .
Оскільки знаменник дробу дорівнює 1, вираз спрощується до $2^{32} - 1$ .
Обчислимо значення степеня: $2^{32} = 4294967296$ .
Віднімемо одиницю: $4294967296 - 1 = 4294967295$ пфенігів.

Відповідь:

Чоловік продавав коня за 4 294 967 295 пфенігів (це величезна сума, що показує швидке зростання геометричної прогресії).