Сторінка 180

Розв’язання

1. Для пункту а): $b_1=1$, $b_2=1\cdot 3=3$, $b_3=3\cdot 3=9$, $b_4=27$, $b_5=81$, $b_6=243$.

2. Для пункту б): $b_1=10$, $b_2=10\cdot \frac{1}{2}=5$, $b_3=5\cdot \frac{1}{2}=2,5$, $b_4=1,25$, $b_5=0,625$, $b_6=0,3125$.

3. Для пункту в): $b_1=-5$, $b_2=-5\cdot 2=-10$, $b_3=-20$, $b_4=-40$, $b_5=-80$, $b_6=-160$.

4. Для пункту г): $b_1=1$, $b_2=1\cdot (-2)=-2$, $b_3=(-2)\cdot (-2)=4$, $b_4=-8$, $b_5=16$, $b_6=-32$.

Розв’язання

1. Для пункту а): $b_1=18$, $b_2=18\cdot (-1)=-18$, $b_3=(-18)\cdot (-1)=18$, $b_4=-18$, $b_5=18$.

2. Для пункту б): $b_1=5$, $b_2=5\cdot 2=10$, $b_3=20$, $b_4=40$, $b_5=80$.

3. Для пункту в): $b_1=-8$, $b_2=-8\cdot \frac{1}{2}=-4$, $b_3=-4\cdot \frac{1}{2}=-2$, $b_4=-1$, $b_5=-0,5$.

4. Для пункту г): $b_1=\frac{5}{27}$, $b_2=\frac{5}{27}\cdot 3=\frac{5}{9}$, $b_3=\frac{5}{9}\cdot 3=\frac{5}{3}$, $b_4=\frac{5}{3}\cdot 3=5$, $b_5=15$.

Розв’язання

1. Припустимо, учень 1 каже $b_1=4$, учень 2 каже $q=\frac{1}{2}$.

2. Обчислюємо члени: $b_1=4$; $b_2=4\cdot \frac{1}{2}=2$; $b_3=2\cdot \frac{1}{2}=1$; $b_4=1\cdot \frac{1}{2}=0,5$; $b_5=0,5\cdot \frac{1}{2}=0,25$.

Розв’язання

1. Знайдемо $b_4$: підставляємо $n=4$ у формулу: $b_4=(-3)\cdot 2^{4-1}=-3\cdot 2^3=-3\cdot 8=-24$.

2. Знайдемо $b_7$: підставляємо $n=7$ у формулу: $b_7=(-3)\cdot 2^{7-1}=-3\cdot 2^6=-3\cdot 64=-192$.

3. Запишемо загальну формулу для $b_n$: $b_n=-3\cdot 2^{n-1}$.

Розв’язання

1. Знайдемо $b_3$: підставляємо $n=3$: $b_3=2\cdot (-3{)}^{3-1}=2\cdot (-3{)}^2=2\cdot 9=18$.

2. Знайдемо $b_6$: підставляємо $n=6$: $b_6=2\cdot (-3{)}^{6-1}=2\cdot (-3{)}^5=2\cdot (-243)=-486$.

3. Запишемо загальну формулу для $b_n$: $b_n=2\cdot (-3{)}^{n-1}$.

Розв’язання

1. Для пункту а) ($-1,3,\dots$): Знаходимо $q=\frac{3}{-1}=-3$. Обчислюємо $b_5=(-1)\cdot (-3{)}^4=-1\cdot 81=-81$.

2. Для пункту б) ($0,1,0,01,\dots$): Знаходимо $q=\frac{0,01}{0,1}=0,1$. Обчислюємо $b_5=0,1\cdot (0,1{)}^4=0,1\cdot 0,0001=0,00001$.

Розв’язання

1. Для пункту а) ($625,125$): Знаменник $q=\frac{125}{625}=\frac{1}{5}$. П'ятий член $b_5=625\cdot (\frac{1}{5}{)}^4=625\cdot \frac{1}{625}=1$.

2. Для пункту б) ($4,-2$): Знаменник $q=\frac{-2}{4}=-0,5$. П'ятий член $b_5=4\cdot (-0,5{)}^4=4\cdot 0,0625=0,25$.

Розв’язання

1. Для пункту а) ($b_8=384,q=2$): $b_1=\frac{384}{2^{8-1}}=\frac{384}{2^7}=\frac{384}{128}=3$.

2. Для пункту б) ($b_5=31,25,q=-2,5$): $b_1=\frac{31,25}{(-2,5{)}^{5-1}}=\frac{31,25}{(-2,5{)}^4}=\frac{31,25}{39,0625}=0,8$.

Розв’язання

1. Для пункту а) ($b_6=8,q=-2$): $b_1=\frac{8}{(-2{)}^{6-1}}=\frac{8}{(-2{)}^5}=\frac{8}{-32}=-0,25$.

2. Для пункту б) ($b_5=1,q=\frac{1}{3}$): $b_1=\frac{1}{(\frac{1}{3}{)}^{5-1}}=\frac{1}{(\frac{1}{3}{)}^4}=\frac{1}{\frac{1}{81}}=81$.

Розв’язання

1. Для пункту а) маємо рівність $b_5=b_1\cdot q^{5-1}$, тобто $162=2\cdot q^4$. Поділимо обидві частини на 2: $q^4=81$. Знайдемо корінь четвертого степеня з числа 81. Оскільки $3^4=81$, то $q=3$ (враховуємо, що степінь парний, але в контексті прогресії зазвичай беруть додатне значення, якщо не вказано інакше; однак корені можуть бути й від'ємними: $\pm 3$. Перевіримо: $2\cdot (-3{)}^4=162$, підходить).

2. Для пункту б) маємо рівність $b_6=b_1\cdot q^{6-1}$, тобто $-800=25\cdot q^5$. Поділимо обидві частини на 25: $q^5=-32$. Знайдемо корінь п'ятого степеня з числа -32. Оскільки $(-2{)}^5=-32$, то $q=-2$.

Розв’язання

1. Для пункту а): $b_8=b_1\cdot q^7$. Підставимо числа: $384=3\cdot q^7$. Поділимо на 3: $q^7=128$. Знайдемо корінь сьомого степеня з 128. Оскільки $2^7=128$, то $q=2$.

2. Для пункту б): $b_4=b_1\cdot q^3$. Підставимо числа: $108=-4\cdot q^3$. Поділимо на -4: $q^3=-27$. Знайдемо корінь третього степеня з -27. Оскільки $(-3{)}^3=-27$, то $q=-3$.

Розв’язання

1. Для пункту а): Знайдемо знаменник $q=\frac{b_4}{b_3}=\frac{0,5}{1}=0,5$. Тепер знайдемо п'ятий член: $b_5=b_4\cdot q=0,5\cdot 0,5=0,25$.

2. Для пункту б): Знайдемо знаменник через відомі члени $b_2$ та $b_4$. Оскільки між ними пропущено один член ($b_3$), то $b_4=b_2\cdot q^2$. Підставимо: $4=2\cdot q^2$, звідки $q^2=2$, отже $q=\sqrt{2}$. Тепер знайдемо $b_5$: спочатку знайдемо $b_3=b_2\cdot q=2\sqrt{2}$, а потім $b_4=2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=4$ (перевірка), і нарешті $b_5=b_4\cdot q=4\sqrt{2}$.

Розв’язання

1. а) Знайдемо знаменник: $q=\frac{b_6}{b_5}=\frac{-160}{80}=-2$. Сьомий член: $b_7=b_6\cdot q=-160\cdot (-2)=320$.
   б) Знайдемо знаменник: $q=\frac{b_6}{b_4}=\frac{18}{72}=\frac{1}{4}$. Сьомий член знайдемо через сьомий або шостий. Спочатку знайдемо п'ятий: $b_5=b_6:q=18:\frac{1}{4}=72$. Або безпосередньо з $b_4$: $b_5=18$, $b_6=18$, $b_7=18\cdot \frac{1}{4}=4,5$. Перевіримо: $b_4=72$, $b_5=18$ ($q=0,25$), $b_6=4,5$ (не підходить). Ой, помилка в логіці перевірки.
   Правильний шлях для б): $q=\frac{b_6}{b_4}$ не працює так просто через пропуск члена. Знайдемо $q$ через співвідношення: $b_6=b_4\cdot q^2$. Отже, $18=72\cdot q^2$, звідки $q^2=\frac{1}{4}$, тобто $q=\pm 0,5$. Оскільки $b_6>b_4$ (за модулем зменшилось), але знак не змінився? Ні, $18$ і $72$ мають різні знаки? Ні, обидва додатні. Отже $q=0,5$.
   Перевірка: $b_4=72$, $b_5=36$, $b_6=18$. Так, підходить. Тепер знайдемо $b_7$: $b_7=b_6\cdot q=18\cdot 0,5=9$.

Розв’язання

1. а) Маємо $324=4\cdot 3^{n-1}$. Поділимо на 4: $\frac{324}{4}=81$. Отримуємо $3^{n-1}=81$. Оскільки $81=3^4$, то $n-1=4$, звідки $n=5$.
   б) Маємо $-256=-8\cdot 2^{n-1}$. Поділимо на $-8$: $\frac{-256}{-8}=32$. Отримуємо $2^{n-1}=32$. Оскільки $32=2^5$, то $n-1=5$, звідки $n=6$.

Розв’язання

1. Запишемо формулу для даної прогресії: $b_n=2\cdot 3^{n-1}$.

2. Прирівняємо до заданого значення члена: $2\cdot 3^{n-1}=162$.

3. Поділимо обидві частини на 2: $3^{n-1}=81$.

4. Знайдемо степінь числа 3, який дорівнює 81 ($3^1=3$, $3^2=9$, $3^3=27$, $3^4=81$). Отже, $n-1=4$.

5. Знайдемо номер члена: $n=4+1=5$.

Розв’язання

1. Для пункту а): Знаходимо знаменник $q=\frac{6}{2}=3$. Перший член $b_1=2$. Формула: $b_n=2\cdot 3^{n-1}$.

2. Для пункту б): Знаходимо знаменник $q=\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}}=-2$. Перший член $b_1=\frac{1}{4}$. Формула: $b_n=\frac{1}{4}\cdot (-2{)}^{n-1}$.