ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 179

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 914–919 · 6 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 17. Геометрична прогресія Geometric Progression

Завдання 914

Знаходження наступних членів прогресії

Дано початкові члени послідовностей, потрібно знайти три наступні числа: а) 3, 6, 12,…; б) 16, 8, 4,…; в) –1, –2, –4,…; г) –2, 4, –8,….

Розв’язання

Для пункту а): $q = \frac{6}{3} = 2$ . Наступні члени: $12 \cdot 2 = 24$ , $24 \cdot 2 = 48$ , $48 \cdot 2 = 96$ .
Для пункту б): $q = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$ . Наступні члени: $4 \cdot \frac{1}{2} = 2$ , $2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ , $1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ .
Для пункту в): $q = \frac{- 2}{- 1} = 2$ . Наступні члени: $- 4 \cdot 2 = - 8$ , $- 8 \cdot 2 = - 16$ , $- 16 \cdot 2 = - 32$ .
Для пункту г): $q = \frac{4}{- 2} = - 2$ . Наступні члени: $- 8 \cdot (- 2) = 16$ , $16 \cdot (- 2) = - 32$ , $- 32 \cdot (- 2) = 64$ .

Відповідь:

а) 24, 48, 96; б) 2, 1, $\frac{1}{2}$ ; в) –8, –16, –32; г) 16, –32, 64.

Завдання 915

Перевірка на геометричну прогресію

Потрібно визначити, чи є послідовності а) $1, 0, 1, 0, 01, 0, 001, 0, 0001, \dots$ та б) $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{1}{32}, \dots$ геометричними прогресіями. Якщо так — знайти знаменник.

Розв’язання

Для пункту а): $\frac{0 , 1}{1} = 0, 1$ , $\frac{0 , 01}{0 , 1} = 0, 1$ . Знаменник $q = 0, 1$ (або $\frac{1}{10}$ ). Це геометрична прогресія.
Для пункту б): $\frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2}$ , $\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$ . Знаменник $q = \frac{1}{2}$ . Це геометрична прогресія.

Відповідь:

а) Так, $q = 0, 1$ ; б) Так, $q = \frac{1}{2}$ .

Завдання 916

Визначення геометричної прогресії серед варіантів

Дано чотири послідовності (А, Б, В, Г). Треба обрати ту, яка є геометричною прогресією.

Розв’язання

Послідовність А ( $2, 4, 6, 8, \dots$ ): $\frac{4}{2} = 2$ , $\frac{6}{4} = 1, 5$ . Відношення змінюється — це арифметична прогресія.
Послідовність Б ( $1, - 3, 9, 27, - 81, \dots$ ): $\frac{- 3}{1} = - 3$ , $\frac{9}{- 3} = - 3$ , $\frac{27}{9} = - 3$ . Відношення стало і дорівнює $- 3$ . Це геометрична прогресія.
Послідовність В ( $- 3, - 6, - 12, - 24, \dots$ ): $\frac{- 6}{- 3} = 2$ , $\frac{- 12}{- 6} = 2$ . Також є геометричною прогресією з $q = 2$ . (У завданні зазвичай шукають один варіант, але тут обидва Б і В підходять. Якщо треба обрати одну — часто в таких тестах мають на увазі саме Б через зміну знаку, але формально обидві є геометричними). Перевіримо Г: $\frac{\frac{1}{3}}{1} = \frac{1}{3}$ , $\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{3}} = \frac{3}{4}$ . Не стало.

Відповідь:

Б і В (обидві є геометричними прогресіями).

Завдання 917

Знаходження знаменника прогресії

Дано геометричну прогресію $18, - 6, 2, \dots$ . Потрібно знайти її знаменник.

Розв’язання

Візьмемо два сусідні члени прогресії, наприклад $b_{1} = 18$ та $b_{2} = - 6$ .
Обчислимо знаменник за формулою: $q = \frac{- 6}{18}$ .
Скоротимо дріб на 6 і отримаємо результат.

Відповідь:

$q = - \frac{1}{3}$ (варіант Г).

Завдання 918

Перевірка властивостей прогресії

Дано дві послідовності. Потрібно визначити, чи є вони геометричними прогресіями.
1) $7^{n}, 7^{n + 1}, 7^{n + 2}, 7^{n + 3}$ (де $n$ — натуральне число).
2) $7^{n}, - 7^{n + 1}, 7^{n + 2}, - 7^{n + 3}$ .

Розв’язання

Для першої послідовності знайдемо $q$ : $\frac{7 ^{n + 1}}{7 ^{n}} = 7$ . Оскільки це число не залежить від $n$ , прогресія є геометричною з $q = 7$ .
Для другої послідовності знайдемо $q$ : $\frac{- 7 ^{n + 1}}{7 ^{n}} = - 7$ . Також наступне відношення $\frac{7 ^{n + 2}}{- 7 ^{n + 1}} = - 7$ . Оскільки відношення стало і дорівнює $- 7$ , це також геометрична прогресія.

Відповідь:

Так, обидві послідовності є геометричними прогресіями.

Завдання 919

Математична модель зростання населення

Оберіть твердження, яке описує зміну населення міста за допомогою геометричної прогресії.
А) Щороку населення збільшується на 1000 мешканців.
Б) Щороку населення зростає на $1%$ .

Розв’язання

У варіанті А додається фіксована кількість людей ( $+ 1000$ ) щороку — це арифметична прогресія.
У варіанті Б населення збільшується на певну частину від поточного числа ( $1%$ ), що еквівалентно множенню на $1, 01$ . Це властивість геометричної прогресії.

Відповідь:

Варіант Б (Щороку населення зростає на $1%$ ).