ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 178

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 17. Геометрична прогресія Geometric Progression

Завдання 1

Знаходження першого члена та знаменника прогресії

У геометричній прогресії $b_{4} = 2$ , $b_{7} = - 54$ . Потрібно знайти $b_{1}$ і $q$ .

Розв’язання

Запишемо вирази для четвертого і сьомого членів через $b_{1}$ і $q$ : $b_{4} = b_{1} \cdot q^{3} = 2$ та $b_{7} = b_{1} \cdot q^{6} = - 54$ .
Поділимо друге рівняння на перше: $\frac{b _{1} \cdot q ^{6}}{b _{1} \cdot q ^{3}} = \frac{- 54}{2}$ , звідки отримуємо $q^{3} = - 27$ , отже $q = - 3$ .
Підставимо знайдене значення $q$ у перше рівняння: $b_{1} \cdot (- 3)^{3} = 2 \Rightarrow b_{1} \cdot (- 27) = 2$ , звідки $b_{1} = - \frac{2}{27}$ .

Відповідь:

$b_{1} = - \frac{2}{27}$ , $q = - 3$ .

Обчислення суми перших п'яти членів прогресії

Знайти суму $S_{5}$ геометричної прогресії, де $b_{1} = 8$ , $q = \frac{1}{2}$ .

Розв’язання

Записуємо формулу для випадку $n = 5$ : $S_{5} = \frac{8 \cdot ( ( \frac{1}{2} ) ^{5} - 1 )}{\frac{1}{2} - 1}$ .
Обчислюємо ступінь та різницю у знаменнику: $(\frac{1}{2})^{5} = \frac{1}{32}$ , тому чисельник дорівнює $8 \cdot (\frac{1}{32} - 1) = 8 \cdot (- \frac{31}{32})$ , а знаменник дорівнює $- \frac{1}{2}$ .
Скорочуємо вираз: $S_{5} = \frac{- 8 \cdot \frac{31}{32}}{- \frac{1}{2}} = \frac{- \frac{31}{4}}{- \frac{1}{2}} = \frac{31}{4} \cdot 2 = \frac{31}{2} = 15 \frac{1}{2}$ .

Відповідь:

$S_{5} = 15 \frac{1}{2}$ .