Сторінка 175

Розв’язання

1. Визначимо кількість півгодин у 12 годинах: $12\cdot 2=24$ інтервали.

2. За кожну годину (наприклад, о 12:00) — 1 удар. За кожну півгодину (наприклад, о 12:30) — 2 удари.

3. Підрахуємо загальну кількість ударів за 12 годин: $1+2+3+\cdots +12$ (за кожну годину) плюс удари в півгодини, але простіше розглянути це як суму арифметичної прогресії або просто підрахувати: за кожну півгодину кількість ударів збільшується на 1.

4. Загалом за 12 годин (24 періоди) сума буде дорівнювати $1+2+\cdots +13$ (оскільки остання півгодина — це 13-й удар).

Розв’язання

1. а) Перший член $a_1=4,9$, різниця $d=9,8$. Знайдемо сума перших 8 членів за формулою $S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n$.

2. Підставимо значення: $S_8=\frac{2\cdot 4,9+(8-1)\cdot 9,8}{2}\cdot 8$.

3. Обчислимо чисельник: $9,8+7\cdot 9,8=9,8(1+7)=9,8\cdot 8=78,4$.

4. Знайдемо суму: $\frac{78,4}{2}\cdot 8=39,2\cdot 8=313,6$ м.

5. б) Для висоти $H=490$ м знайдемо кількість секунд $n$. Використаємо ту саму формулу: $490=\frac{2\cdot 4,9+(n-1)\cdot 9,8}{2}\cdot n$.

6. Спростимо рівняння: $490=(4,9+4,9(n-1))\cdot n=4,9(1+n-1)\cdot n=4,9n^2$.

7. Знайдемо $n$: $n^2=\frac{490}{4,9}=100$, отже $n=10$ с.

Розв’язання

1. Обчислимо суму кутів п'ятикутника: $(5-2)\cdot 180^{\circ }=3\cdot 180^{\circ }=540^{\circ }$.

2. Оскільки кути утворюють арифметичну прогресію, сума цих кутів дорівнює $n$-му члену прогресії, помноженому на середнє арифметичне, або простіше: сума дорівнює $5\cdot a_3$, де $a_3$ — третій член (середній).

3. Знайдемо середній член: $a_3=\frac{540^{\circ }}{5}=108^{\circ }$. Отже, один з кутів дорівнює $108^{\circ }$.

4. Для трикутника ($n=3$): сума кутів $180^{\circ }$, середній член (другий) буде $\frac{180^{\circ }}{3}=60^{\circ }$. Задача: «Міри кутів трикутника утворюють арифметичну прогресію. Доведи, що один з кутів дорівнює $60^{\circ }$».

5. Для семикутника ($n=7$): сума кутів $(7-2)\cdot 180^{\circ }=900^{\circ }$, середній член (четвертий) буде $\frac{900^{\circ }}{7}\approx 128,57^{\circ }$. Задача: «Міри кутів семикутника утворюють арифметичну прогресію. Доведи, що один з кутів дорівнює ${\frac{900}{7}}^{\circ }$».

Розв’язання

1. Оскільки відрізки ділять бічні сторони на 8 рівних частин, їх кількість $n=9$ (включаючи основи трапеції як перший і останній члени прогресії).

2. Перший член прогресії — це менша основа $a_1=a$, останній — більша основа $a_n=b$. Сума відрізків, що лежать між основами (від 1-го до 8-го), дорівнює сумі всіх членів мінус основи: $S_{між}=S_9-a-b$.

3. Проте в умові йдеться про відрізки, що ділять сторони на 8 частин. Це означає, що ми маємо точки поділу $1,2,\dots ,7$ (разом з основами це 9 рівних відрізків). Довжина $k$-го відрізку (відлічуючи від основи $a$) дорівнює $a_k=a+k\cdot \frac{b-a}{8}$.

4. Сума всіх відрізків, проведених паралельно основам (не включаючи самі основи), є сумою членів прогресії від $k=1$ до $k=7$. Але зазвичай у таких задачах просять знайти сусуму всіх проведених відрізків. Якщо розглядати всі 9 рівних відрізків (включаючи основи), їхня сума дорівнює $\frac{a+b}{2}\cdot 9$. Сума саме відрізків між основами: $S=\frac{a+b}{2}\cdot 9-a-b=\frac{7(a+b)}{2}$.

Розв’язання

1. За умовою $a^2,b^2,c^2$ — арифметична прогресія, отже, $2b^2=a^2+c^2$.

2. Розглянемо різницю між третім і другим членами нової послідовності: $\frac{1}{a+b}-\frac{1}{b+c}=\frac{(b+c)-(a+b)}{(a+b)(b+c)}=\frac{c-a}{(a+b)(b+c)}$.

3. Розглянемо різницю між другим і першим членами: $\frac{1}{b+c}-\frac{1}{c+a}=\frac{(c+a)-(b+c)}{(b+c)(c+a)}=\frac{a-b}{(b+c)(c+a)}$.

4. Щоб довести, що це арифметична прогресія, треба показати, що $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+a}=\frac{2}{b+c}$. Перетворимо ліву частину: $\frac{c+a+b+c}{(a+b)(c+a)}=\frac{2c+a+b}{ac+bc+a^2+ab}$. Це не очевидно без додаткових умов на $a,b,c$ (наприклад, якщо це сторони трикутника). Однак, стандартне завдання такого типу часто має додаткову умову $a+b+c=0$ або схожу. Якщо умова лише $2b^2=a^2+c^2$, то твердження не завжди виконується без додаткових обмежень на знаки чи співвідношення. Але в шкільному контексті це класичне завдання, де часто припускають, що $a,b,c$ — сторони трикутника або задовольняють іншу умову. Перевіримо рівність $\frac{1}{b+c}-\frac{1}{c+a}=\frac{1}{a+b}-\frac{1}{b+c}$, що еквівалентно $2(b+c)=(b+c)(c+a)+(a+b)(b+c)$? Ні.
   Виправлення: У класичному варіанті завдання часто йдеться про те, що якщо $a,b,c$ — арифметична прогресія, то $\frac{1}{b+c},\dots$ не обов'язково. Але якщо $a^2,b^2,c^2$ — арифметична прогресія, то це означає $a^2+c^2=2b^2$. Це умова прямокутного трикутника з гіпотенузою $\sqrt{2}b$, що не є загальним випадком. Можливо, в умові підручника є додаткова інформація про те, що $a,b,c$ — сторони трикутника? Якщо ні, то завдання потребує уточнення або це специфічний алгебраїчний факт.
   Альтернативний підхід: Можливо, автор мав на увазі, що якщо $a,b,c$ утворюють арифметичну прогресію, то $\frac{1}{b+c},\dots$ — це не так. Але якщо $a^2,b^2,c^2$ — арифметична прогресія, то $a^2+c^2=2b^2$. Це означає, що $b$ є середнім геометричним $a$ і $c$ лише якщо знаки збігаються.
   Рішення: Оскільки без додаткових умов на $a,b,c$ це твердження не завжди вірне (це специфічний випадок), але в шкільних підручниках це часто доводиться за допомогою алгебраїчних перетворень, що призводять до тотожності при певних умовах. Оскільки я не бачу повного тексту умови про $a,b,c$, я надам загальний план доведення для випадку, коли це можливо.

Розв’язання

1. а) 1. Перший член $a_1=4$, останній $a_n=5n-1$. Різниця $d=9-4=5$.

2. Підставимо в формулу суми: $S_n=\frac{4+(5n-1)}{2}\cdot n=1030$.

3. Спростимо: $\frac{5n+3}{2}\cdot n=1030\Rightarrow n(5n+3)=2060\Rightarrow 5n^2+3n-2060=0$.

4. Розв'яжемо квадратне рівняння: $D=9-4\cdot 5\cdot (-2060)=9+41200=41209$. $\sqrt{D}=203$. $n=\frac{-3+203}{10}=20$.
   б) 1. Перший член $a_1=6$, різниця $d=10-6=4$. Останній член $x$. Сума $S_n=160$.

5. Формула суми: $\frac{6+x}{2}\cdot n=160\Rightarrow (6+x)n=320$.

6. Також $x=6+(n-1)4=4n+2$. Підставимо: $(6+4n+2)n=320\Rightarrow (4n+8)n=320\Rightarrow 4n^2+8n-320=0$.

7. Спростимо на 4: $n^2+2n-80=0$. Дискримінант $D=4-4\cdot (-80)=324$, $\sqrt{D}=18$. $n=\frac{-2+18}{2}=8$.

8. Знайдемо $x$: $x=6+(8-1)\cdot 4=6+28=34$.

Розв’язання

1. а) Чисельник розкладаємо на множники: $9x^2-3=3(3x-1)$, знаменник: $x^2-x=x(x-1)$. Спільних множників немає, скоротити не можна.
   Примітка: У тексті завдання формули виглядають як $\frac{9}{x^2-3}$ або подібне, але з огляду на стандартні вправи для 9 класу та структуру "скороти дріб", ймовірніше, що це скорочення раціональних виразів. Оскільки текст у запиті зіпсований ($\frac{2}{3}\frac{9}{x^2-3}$), я розв'язую типову задачу для цього типу: $\frac{9x^2-9}{x^2-x}$.
   Перевірка умови: Текст у запиті: "а) $2/39/x^2-3$". Це виглядає як помилка розпізнавання. Найімовірніше, це $\frac{9x^2-9}{x^2-x}$ або подібне. Але оскільки я не бачу чіткого зображення, я виконаю розв'язання для найпоширенішого варіанту, який підходить під "скороти дріб": $\frac{9x^2-9}{x^2-x}$.
   Корекція: Оскільки я не можу бачити зображення, а текст зіпсований, я надам розв'язання для типових виразів, які зазвичай зустрічаються в таких вправах (наприклад, $\frac{9x^2-9}{x^2-x}$).
   Альтернатива: Якщо це скорочення дробів чисел: а) $9/3=3$; б) $9/7$ (не скорочується); в) $8/10=4/5$. Але позначки $x,a,c$ свідчать про алгебраїчні дроби.
   Рішення: Я припустю, що завдання виглядає так: а) $\frac{9x^2-9}{x^2-x}$; б) $\frac{a^2+3a}{a^2-a}$; в) $\frac{c^4-c^2}{8c^2-20}$.

2. а) Чисельник: $9(x^2-1)=9(x-1)(x+1)$. Знаменник: $x(x-1)$. Скорочуємо $(x-1)$. Відповідь: $\frac{9(x+1)}{x}$.

3. б) Чисельник: $a(a+3)$. Знаменник: $a(a-1)$. Спільних немає. (Якщо це було $\frac{a^2-3}{...}$, то інше). Припустимо, що в умові було $\frac{a^2-9}{a^2-a}=\frac{(a-3)(a+3)}{a(a-1)}$ — не скорочується.
   Оскільки текст невизначений, я дам загальну інструкцію: Розкладіть чисельник і знаменник на множники. Знайдіть спільні множники. Скоротіть їх.

Розв’язання

1. а) Корені рівняння $x^2-8x+15=0$: $D=64-60=4$, $x_{1,2}=\frac{8\pm 2}{2}$, тобто $x_1=3,x_2=5$. Парабола відкрита вгору. Нерівність $<0$ виконується між коренями: $3<x<5$.

2. б) Корені рівняння $x^2+7x=0$: $x(x+7)=0$, корені $x_1=0,x_2=-7$. Парабола відкрита вгору. Нерівність $>0$ виконується при $x<-7$ або $x>0$.

3. в) Корені рівняння $x^2-16=0$: $x_1=-4,x_2=4$. Парабола відкрита вгору. Нерівність $<0$ виконується між коренями: $-4<x<4$.

Розв’язання

1. Оскільки зображення графіка відсутнє, виконати завдання неможливо без візуального аналізу Мал. 16.6.

2. Спосіб розв'язання: знайдіть $y$ для кожної точки на малюнку і підберіть літеру проміжка, який містить це число.