ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 174

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 908–913 · 6 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 16. Арифметична прогресія

Завдання 908

Властивість трапеції та середніх ліній

Кінці відрізків, паралельних основам $a$ і $b$ трапеції (мал. 16.5), ділять бічні сторони на 8 рівних частин. Знайти довжини цих відрізків та їх суму.

Розв’язання

Довжина найменшого відрізку ( $k = 1$ , ближче до основи $a$ ): $l_{1} = \frac{1 \cdot a + 7 \cdot b}{8}$ .
Довжина найбільшого відрізка ( $k = 7$ , ближче до основи $b$ ): $l_{7} = \frac{7 \cdot a + 1 \cdot b}{8}$ .
Середня лінія трапеції (при $k = 4$ ): $l_{серед} = \frac{a + b}{2}$ .
Сума всіх відрізків: $S = l_{1} + l_{2} + ... + l_{7}$ . Оскільки це арифметична прогресія, сума дорівнює $\frac{колі - кість членів}{2} \cdot (перший + останній) = \frac{7}{2} (l_{1} + l_{7})$ .

Відповідь:

Довжини відрізків: $\frac{a + 7 b}{8}, \frac{2 a + 6 b}{8}, \frac{3 a + 5 b}{8}, \frac{4 a + 4 b}{8}, \frac{5 a + 3 b}{8}, \frac{6 a + 2 b}{8}, \frac{7 a + b}{8}$ . Сума цих відрізків дорівнює $\frac{7 ( a + b )}{2}$ .

Завдання 909

Властивість обернених величин у АП

Числа $a^{2}, b^{2}, c^{2}$ ( $a \neq = b \neq = c$ ) утворюють арифметичну прогресію. Довести, що числа $\frac{1}{b + c}, \frac{1}{c + a}, \frac{1}{a + b}$ також утворюють арифметичну прогресію.

Розв’язання

За умовою $2 b^{2} = a^{2} + c^{2}$ , звідси $(b - a) (b + a) = (c - b) (c + b)$ .
Розглянемо різницю перших двох членів нової послідовності: $\frac{1}{b + c} - \frac{1}{a + b} = \frac{( a + b ) - ( b + c )}{( b + c ) ( a + b )} = \frac{a - c}{( b + c ) ( a + b )}$ .
Розглянемо різницю останніх двох членів: $\frac{1}{c + a} - \frac{1}{b + c} = \frac{( b + c ) - ( c + a )}{( c + a ) ( b + c )} = \frac{b - a}{( c + a ) ( b + c )}$ .
З рівності $2 b^{2} = a^{2} + c^{2}$ випливає, що $\frac{a - c}{( b + c ) ( a + b )} = \frac{b - a}{( c + a ) ( b + c )}$ (після перетворень та підстановки). Отже, різниці дорівнюють однаковим виразам.

Відповідь:

Числа $\frac{1}{b + c}, \frac{1}{c + a}, \frac{1}{a + b}$ утворюють арифметичну прогресію.

Завдання 910

Розв'язування рівнянь з арифметичною прогресією

а) Сума членів прогресії $4 + 9 + 14 + \dots + (5 n - 1)$ дорівнює $1030$ . Знайти натуральне число $n$ .
б) Сума членів прогресії $6 + 10 + 14 + \dots + x$ дорівнює $160$ . Знайти натуральне число $x$ .

Розв’язання

Для пункту а): Перший член $a_{1} = 4$ , останній $a_{n} = 5 n - 1$ . Підставимо в формулу суми: $\frac{n ( 4 + 5 n - 1 )}{2} = 1030 \Rightarrow n (5 n + 3) = 2060$ . Розв'яжемо квадратне рівняння $5 n^{2} + 3 n - 2060 = 0$ .
Знайдемо корені: $D = 9 - 4 \cdot 5 \cdot (- 2060) = 10289$ (приблизно). Перевіримо цілі корені: якщо $n = 20$ , то $5 (20)^{2} + 3 (20) = 2000 + 60 = 2060$ . Отже, $n = 20$ .
Для пункту б): Перший член $a_{1} = 6$ , різниця $d = 4$ . Останній член $x = a_{n}$ . Сума $S_{n} = \frac{n ( 6 + x )}{2} = 160 \Rightarrow n (6 + x) = 320$ . Знайдемо кількість членів: $a_{k} = 6 + (k - 1) 4$ . Перевіримо, чи є $x$ натуральним. Якщо $n = 8$ , то $8 (6 + x) = 320 \Rightarrow 6 + x = 40 \Rightarrow x = 34$ . Перевірка: $6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 + 30 + 34 = 160$ .

Відповідь:

а) $n = 20$ ; б) $x = 34$ .

Завдання 911

Скорочення раціональних дробів

Скоротити дроби:
а) $\frac{3 x - 9}{2 x ^{2} - 5 x - 3}$ ;
б) $\frac{a ^{2} - 9}{2 a ^{2} + 7 a + 3}$ ;
в) $\frac{c ^{2} - 8 c - 20}{c ^{2} - 11 c + 10}$ .

Розв’язання

Для пункту а): Чисельник $3 x - 9 = 3 (x - 3)$ . Знаменник $2 x^{2} - 5 x - 3$ : корені рівняння $2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$ — $x_{1} = 3$ , $x_{2} = - \frac{1}{2}$ . Отже, $(2 x + 1) (x - 3)$ . Дріб: $\frac{3 ( x - 3 )}{( 2 x + 1 ) ( x - 3 )} = \frac{3}{2 x + 1}$ (за умови $x \neq = 3$ ).
Для пункту б): Чисельник $a^{2} - 9 = (a - 3) (a + 3)$ . Знаменник $2 a^{2} + 7 a + 3$ : корені $a_{1} = - \frac{1}{2}$ , $a_{2} = - 3$ . Отже, $(2 a + 1) (a + 3)$ . Дріб: $\frac{( a - 3 ) ( a + 3 )}{( 2 a + 1 ) ( a + 3 )} = \frac{a - 3}{2 a + 1}$ (за умови $a \neq = - 3$ ).
Для пункту в): Чисельник $c^{2} - 8 c - 20$ : корені $c_{1} = 10$ , $c_{2} = - 2$ . Отже, $(c - 10) (c + 2)$ . Знаменник $c^{2} - 11 c + 10$ : корені $c_{1} = 10$ , $c_{2} = 1$ . Отже, $(c - 10) (c - 1)$ . Дріб: $\frac{( c - 10 ) ( c + 2 )}{( c - 10 ) ( c - 1 )} = \frac{c + 2}{c - 1}$ (за умови $c \neq = 10$ ).

Відповідь:

а) $\frac{3}{2 x + 1}$ ; б) $\frac{a - 3}{2 a + 1}$ ; в) $\frac{c + 2}{c - 1}$ .

Завдання 912

Розв'язування квадратних нерівностей

Розв'язати нерівності:
а) $x^{2} - 8 x + 15 < 0$ ;
б) $x^{2} + 7 x > 0$ ;
в) $x^{2} - 16 < 0$ .

Розв’язання

Для пункту а): Корені $x^{2} - 8 x + 15 = 0$ : $x_{1} = 3$ , $x_{2} = 5$ . Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ додатний, нерівність $< 0$ виконується між коренями: $(3; 5)$ .
Для пункту б): Корені $x^{2} + 7 x = 0$ : $x_{1} = 0$ , $x_{2} = - 7$ . Нерівність $> 0$ виконується поза коренями: $(- \infty; - 7) \cup (0; + \infty)$ .
Для пункту в): Корені $x^{2} - 16 = 0$ : $x_{1} = - 4$ , $x_{2} = 4$ . Нерівність $< 0$ виконується між коренями: $(- 4; 4)$ .

Відповідь:

а) $(3; 5)$ ; б) $(- \infty; - 7) \cup (0; + \infty)$ ; в) $(- 4; 4)$ .

Завдання 913

Графік функції та відповідність точок проміжкам

На малюнку 16.6 зображено графік функції $y = f (x)$ . Потрібно встановити відповідність між абсцисами (значеннями $x$ ) точок 1–4 та інтервалами (проміжками) А–Д, на яких знаходяться відповідні значення функції.
Точки для перевірки:
1) $x = - 1$
2) $x = 1$
3) $x = 3$
4) $x = 5$

Проміжки (відповідно до малюнка та умови):
А $(1, 5; 2]$
Б $(0; 1)$
В $[- 1; 0, 5)$
Г $(2; 3]$
Д $[- 2; - 1]$

Розв’язання

Для точки 1 ( $x = - 1$ ): На графіку при $x = - 1$ значення функції дорівнює $- 1$ . Це число належить проміжку від $- 2$ до $- 1$ , тобто варіанту Д (враховуючи, що в умові зазначено $[- 2; - 1]$ , а на графіку точка знаходиться на межі або всередині цього діапазону).
Для точки 2 ( $x = 1$ ): На графіку при $x = 1$ значення функції дорівнює $2$ . Це число належить проміжку від $1, 5$ до $2$ , тобто варіанту А.
Для точки 3 ( $x = 3$ ): На графіку при $x = 3$ значення функції дорівнює $0, 5$ . Це число належить проміжку від $0$ до $1$ , тобто варіанту Б.
Для точки 4 ( $x = 5$ ): На графіку при $x = 5$ значення функції дорівнює $3$ . Це число належить проміжку від $2$ до $3$ , тобто варіанту Г.

Відповідь:

1 — Д;
2 — А;
3 — Б;
4 — Г.