ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 173

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 886–905 · 20 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 16. Арифметична прогресія

Завдання 886

Сума членів прогресії за формулою

Знайти суму перших 20 членів арифметичної прогресії, заданої формулою n-го члена: а) $a_{n} = 2 + 5 n$ ; б) $a_{n} = 2 n - 1$ ; в) $a_{n} = - 3 + n$ .

Розв’язання

а) Знайдемо $a_{1} = 2 + 5 \cdot 1 = 7$ , $a_{20} = 2 + 5 \cdot 20 = 102$ . Сума $S_{20} = \frac{20 ( 7 + 102 )}{2} = 10 \cdot 109 = 1090$ .
б) Знайдемо $a_{1} = 2 \cdot 1 - 1 = 1$ , $a_{20} = 2 \cdot 20 - 1 = 39$ . Сума $S_{20} = \frac{20 ( 1 + 39 )}{2} = 10 \cdot 40 = 400$ .
в) Знайдемо $a_{1} = - 3 + 1 = - 2$ , $a_{20} = - 3 + 20 = 17$ . Сума $S_{20} = \frac{20 ( - 2 + 17 )}{2} = 10 \cdot 15 = 150$ .

Відповідь:

а) 1090; б) 400; в) 150.

Завдання 887

Сума членів прогресії за формулою

Знайти суму перших 16 членів арифметичної прогресії, заданої формулою n-го члена $a_{n} = - 3 + n$ .

Розв’язання

Знайдемо перший член: $a_{1} = - 3 + 1 = - 2$ .
Знайдемо шістнадцятий член: $a_{16} = - 3 + 16 = 13$ .
Обчислимо суму: $S_{16} = \frac{16 ( - 2 + 13 )}{2} = 8 \cdot 11 = 88$ .

Відповідь:

88.

Завдання 888

Сума парних чисел

Знайти суму всіх парних натуральних чисел, менших за 200.

Розв’язання

Перший член $a_{1} = 2$ . Останній член $a_{n} = 198$ . Різниця $d = 2$ .
Знайдемо кількість членів: $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d \Rightarrow 198 = 2 + (n - 1) 2 \Rightarrow 196 = 2 (n - 1) \Rightarrow n - 1 = 98 \Rightarrow n = 99$ .
Обчислимо суму: $S_{99} = \frac{99 ( 2 + 198 )}{2} = \frac{99 \cdot 200}{2} = 99 \cdot 100 = 9900$ .

Відповідь:

9900.

Завдання 889

Сума непарних чисел

Знайти суму всіх непарних натуральних чисел, менших за 200.

Розв’язання

Знайдемо кількість членів прогресії: останнє число — це 199, отже $n = \frac{199 - 1}{2} + 1 = 100$ .
Обчислимо суму за формулою: $S_{100} = \frac{100 ( 1 + 199 )}{2} = 50 \cdot 200 = 10000$ .

Відповідь:

10000

Завдання 890

Сума непарних чисел (ЗНО)

Знайти суму перших дванадцяти непарних натуральних чисел.

Розв’язання

Кількість членів $n = 12$ .
Останнє число прогресії: $a_{12} = 1 + (12 - 1) \cdot 2 = 23$ .
Сума: $S_{12} = \frac{12 ( 1 + 23 )}{2} = 6 \cdot 24 = 144$ (або $1 2^{2} = 144$ ).

Відповідь:

144

Завдання 891

Сума кратних чисел

Знайти суму натуральних чисел, які не більші за 240 і кратні: а) 4; б) 12.

Розв’язання

а) Останнє число $a_{n} = 236$ (оскільки $236 \div 4 = 59$ ). Кількість членів $n = 59$ . Сума $S_{59} = \frac{59 ( 4 + 236 )}{2} = 59 \cdot 120 = 7080$ .
б) Останнє число $a_{n} = 240$ (оскільки $240 \div 12 = 20$ ). Кількість членів $n = 20$ . Сума $S_{20} = \frac{20 ( 12 + 240 )}{2} = 10 \cdot 252 = 2520$ .

Відповідь:

а) 7080; б) 2520

Завдання 892

Сума чисел, кратних 3 та 5

Знайти суму натуральних чисел, менших від 100, які кратні: а) 3; б) 5.

Розв’язання

а) Перший член $a_{1} = 3$ , різниця $d = 3$ . Останній член, менший за 100, — це 99 ( $99 = 3 \cdot 33$ ), отже кількість членів $n = 33$ . Сума: $\frac{33}{2} (3 + 99) = \frac{33}{2} \cdot 102 = 33 \cdot 51 = 1683$ .
б) Перший член $a_{1} = 5$ , різниця $d = 5$ . Останній член, менший за 100, — це 95 ( $95 = 5 \cdot 19$ ), отже кількість членів $n = 19$ . Сума: $\frac{19}{2} (5 + 95) = \frac{19}{2} \cdot 100 = 19 \cdot 50 = 950$ .

Відповідь:

а) 1683; б) 950.

Завдання 893

Сума цілих чисел у проміжку

Знайти суму всіх цілих чисел, що належать проміжкам: а) $[- 30; 70]$ ; б) $[- 70; - 30]$ ; в) $(- 70; 70)$ .

Розв’язання

а) Сума чисел від $- 30$ до $30$ дорівнює 0. Залишається додати числа від 1 до 70. Це арифметична прогресія з $a_{1} = 1, a_{n} = 70, d = 1$ . Кількість членів $n = 70$ . Сума: $\frac{70}{2} (1 + 70) = 35 \cdot 71 = 2485$ .
б) Проміжок $[- 70; - 30]$ містить цілі числа від $- 70$ до $- 30$ . Це арифметична прогресія з $a_{1} = - 70, a_{n} = - 30, d = 1$ . Кількість членів $n = (- 30) - (- 70) + 1 = 41$ . Сума: $\frac{41}{2} (- 70 + (- 30)) = \frac{41}{2} \cdot (- 100) = 41 \cdot (- 50) = - 2050$ .
в) Проміжок $(- 70; 70)$ містить цілі числа від $- 69$ до $69$ . Це симетричний проміжок, тому сума дорівнює 0.

Відповідь:

а) 2485; б) -2050; в) 0.

Завдання 894

Сума членів за відомим

a_{17}

Сімнадцятий член арифметичної прогресії дорівнює 8 ( $a_{17} = 8$ ). Знайти суму її перших 33 членів.

Розв’язання

Використовуємо властивість арифметичної прогресії: сума першого і останнього члена ( $a_{1} + a_{33}$ ) дорівнює подвоєному значенню середнього члена, індекс якого є середнім арифметичним індексів 1 і 33. Середній індекс $\frac{1 + 33}{2} = 17$ .
Отже, $a_{1} + a_{33} = 2 \cdot a_{17}$ . Оскільки $a_{17} = 8$ , то $a_{1} + a_{33} = 2 \cdot 8 = 16$ .
Підставляємо значення у формулу суми для $n = 33$ : $S_{33} = \frac{33}{2} (a_{1} + a_{33}) = \frac{33}{2} \cdot 16 = 33 \cdot 8 = 264$ .

Відповідь:

264.

Завдання 895

Сума перших членів прогресії за заданим

a_{13}

Тринадцятий член арифметичної прогресії дорівнює 3. Знайди суму її перших 25 членів.

Розв’язання

Позначимо кількість членів $n = 25$ . Нам потрібно знайти $S_{25} = \frac{25 ( a _{1} + a _{25} )}{2}$ .
За умовою відомо, що $a_{13} = 3$ . Оскільки прогресія арифметична, сума членів, віддалених однаково від центру послідовності, дорівнює подвоєному значенню середнього члена.
Сімнадцятий член ( $a_{17}$ ) і одинадцятий член ( $a_{11}$ ) симетричні відносно тринадцятого члена ( $a_{13}$ ), тому $a_{1} + a_{25} = 2 \cdot a_{13}$ .
Підставимо значення: $S_{25} = \frac{25 \cdot ( 2 \cdot 3 )}{2} = 25 \cdot 3 = 75$ .

Відповідь:

Завдання 896

Відкрита задача про суму прогресії

Знайти суму перших $k$ членів арифметичної прогресії, якщо її $m$ -й член дорівнює 100. (Задача відкрита, умови частково приховані).

Розв’язання

Запишемо загальну формулу для суми: $S_{k} = \frac{k ( a _{1} + a _{k} )}{2}$ .
Відомо, що існує член $a_{m} = 100$ .
Без уточнення номерів $k$ та $m$ задачу неможливо розв'язати чисельно. Якщо припустити, що сума перших $k$ членів містить цей член ( $k \geq m$ ), то ми можемо виразити суму через $a_{m}$ , але потрібні конкретні числа.

Відповідь:

Задача неможливо виконати без додаткових даних (номеру члена, що дорівнює 100, та кількості членів у сумі).

Завдання 897

Сума перших дев'яти членів за сумою четвертого і шостого

Сума четвертого і шостого членів арифметичної прогресії дорівнює 14. Знайди суму перших дев'яти членів прогресії.

Розв’язання

Запишемо відому суму через перший ( $a_{1}$ ) і різницю ( $d$ ): $a_{4} + a_{6} = (a_{1} + 3 d) + (a_{1} + 5 d) = 2 a_{1} + 8 d$ .
За умовою $2 a_{1} + 8 d = 14$ , звідки $a_{1} + 4 d = 7$ . Зверни увагу, що $a_{1} + 4 d$ — це формула для п'ятого члена прогресії ( $a_{5}$ ).
Отже, $a_{5} = 7$ . П'ятий член є середнім членом перших дев'яти членів прогресії.
Сума перших дев'яти членів дорівнює добутку кількості членів на середній: $S_{9} = 9 \cdot a_{5} = 9 \cdot 7$ .

Відповідь:

Завдання 898

Знаходження різниці прогресії за сумою перших членів

Третій член арифметичної прогресії вдвічі більший за її перший член. Сума перших п'яти членів дорівнює 190. Знайти різницю прогресії $d$ .

Розв’язання

Запишемо умову про третій член: $a_{3} = 2 a_{1}$ . Використаємо формулу загального члена для $n = 3$ : $a_{3} = a_{1} + 2 d$ . Отже, $a_{1} + 2 d = 2 a_{1}$ , звідки отримуємо $a_{1} = 2 d$ .
Запишемо формулу суми перших п'яти членів: $S_{5} = \frac{5 ( a _{1} + a _{5} )}{2} = 190$ . Спростимо рівняння, поділивши на 5 і помноживши на 2: $a_{1} + a_{5} = 76$ .
Виразимо $a_{5}$ через $a_{1}$ : $a_{5} = a_{1} + 4 d$ . Підставимо це в рівняння з кроку 2: $a_{1} + (a_{1} + 4 d) = 76$ , тобто $2 a_{1} + 4 d = 76$ .
Підставимо вираз для $a_{1}$ з кроку 1 ( $a_{1} = 2 d$ ) у рівняння: $2 (2 d) + 4 d = 76 \Rightarrow 4 d + 4 d = 76 \Rightarrow 8 d = 76$ .
Знайдемо $d$ : $d = \frac{76}{8} = 9, 5$ .

Відповідь:

Різниця прогресії дорівнює $9, 5$ .

Завдання 899

Знаходження сьомого члена за сумою непарних і парних членів

У прогресії 10 членів. Сума членів з непарними номерами ( $a_{1}, a_{3}, \dots, a_{9}$ ) дорівнює 10, а з парними ( $a_{2}, a_{4}, \dots, a_{10}$ ) — 25. Знайти сьомий член $a_{7}$ .

Розв’язання

У послідовності з 10 членів непарні номери мають індекси 1, 3, 5, 7, 9 (всього 5 членів), парні — 2, 4, 6, 8, 10 (також 5 членів).
Середнє арифметичне непарних членів: $\frac{S _{непар}}{5} = \frac{10}{5} = 2$ . Це середнє між $a_{1}$ і $a_{9}$ , тобто $\frac{a _{1} + a _{9}}{2} = 2$ .
Середнє арифметичне парних членів: $\frac{S _{пар}}{5} = \frac{25}{5} = 5$ . Це середнє між $a_{2}$ і $a_{10}$ , тобто $\frac{a _{2} + a _{10}}{2} = 5$ .
Знайдемо різницю прогресії $d$ . Відомо, що $a_{3} - a_{1} = 2 d$ , а також середнє непарних членів дорівнює $a_{5}$ (оскільки це середній член з 5 елементів). Отже, $a_{5} = 2$ . Аналогічно, середній парний член — це $a_{6}$ , тобто $a_{6} = 5$ .
Оскільки $a_{6}$ і $a_{5}$ сусідні члени прогресії, їх різниця дорівнює $d$ : $d = a_{6} - a_{5} = 5 - 2 = 3$ .
Знайдемо $a_{7}$ за формулою $a_{7} = a_{6} + d = 5 + 3 = 8$ .

Відповідь:

Сьомий член прогресії дорівнює 8.

Завдання 900

Знаходження суми перших 27 членів за відомими сумами частин

Сума перших 15 членів $S_{15} = 20$ . Сума перших 12 членів менша на 6, тобто $S_{12} = 20 - 6 = 14$ . Знайти суму перших 27 членів $S_{27}$ .

Розв’язання

Запишемо рівняння для $S_{12}$ : $\frac{12}{2} (2 a_{1} + 11 d) = 14 \Rightarrow 6 (2 a_{1} + 11 d) = 14 \Rightarrow 2 a_{1} + 11 d = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$ .
Запишемо рівняння для $S_{15}$ : $\frac{15}{2} (2 a_{1} + 14 d) = 20 \Rightarrow \frac{15}{2} \cdot 2 (a_{1} + 7 d) = 20 \Rightarrow 15 (a_{1} + 7 d) = 20 \Rightarrow a_{1} + 7 d = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}$ .
Маємо систему: ${2 a_{1} + 11 d = \frac{7}{3} a_{1} + 7 d = \frac{4}{3}$ . Помножимо друге рівняння на 2: $2 a_{1} + 14 d = \frac{8}{3}$ .
Віднімемо перше рівняння від зміненого другого: $(2 a_{1} + 14 d) - (2 a_{1} + 11 d) = \frac{8}{3} - \frac{7}{3} \Rightarrow 3 d = \frac{1}{3} \Rightarrow d = \frac{1}{9}$ .
Знайдемо $a_{1}$ з другого рівняння: $a_{1} + 7 \cdot \frac{1}{9} = \frac{4}{3} \Rightarrow a_{1} = \frac{4}{3} - \frac{7}{9} = \frac{12}{9} - \frac{7}{9} = \frac{5}{9}$ .
Обчислимо $S_{27}$ : $S_{27} = \frac{27}{2} (2 a_{1} + 26 d) = \frac{27}{2} (2 \cdot \frac{5}{9} + 26 \cdot \frac{1}{9}) = \frac{27}{2} (\frac{10}{9} + \frac{26}{9}) = \frac{27}{2} \cdot \frac{36}{9} = \frac{27}{2} \cdot 4 = 54$ .

Відповідь:

Сума перших 27 членів дорівнює 54.

Завдання 901

Знаходження члена прогресії за формулою суми

Знайти $a_{5}$ арифметичної прогресії, якщо сума її перших $n$ членів задається формулами: а) $S_{n} = n^{2} - 6 n$ ; б) $S_{n} = 3 n^{2} - n$ .

Розв’язання

а) Обчислимо $S_{5}$ : $S_{5} = 5^{2} - 6 \cdot 5 = 25 - 30 = - 5$ .
Обчислимо $S_{4}$ : $S_{4} = 4^{2} - 6 \cdot 4 = 16 - 24 = - 8$ .
Знайдемо $a_{5}$ : $a_{5} = S_{5} - S_{4} = - 5 - (- 8) = - 5 + 8 = 3$ .
б) Обчислимо $S_{7}$ (бо в умові просять знайти сьомий член, хоча номер завдання 902 — тут розв'язуємо саме 901): Увага! У тексті завдання 901 просить знайти п'ятий член.
Обчислимо $S_{5}$ : $S_{5} = 3 \cdot 5^{2} - 5 = 75 - 5 = 70$ .
Обчислимо $S_{4}$ : $S_{4} = 3 \cdot 4^{2} - 4 = 48 - 4 = 44$ .
Знайдемо $a_{5}$ : $a_{5} = S_{5} - S_{4} = 70 - 44 = 26$ .

Відповідь:

а) $3$ ; б) $26$ .

Завдання 902

Знаходження сьомого члена прогресії за формулою суми

Знайти $a_{7}$ арифметичної прогресії, якщо сума її перших $n$ членів задається формулою $S_{n} = 4 n^{2} - 2 n$ .

Розв’язання

Обчислимо $S_{7}$ : $S_{7} = 4 \cdot 7^{2} - 2 \cdot 7 = 4 \cdot 49 - 14 = 196 - 14 = 182$ .
Обчислимо $S_{6}$ : $S_{6} = 4 \cdot 6^{2} - 2 \cdot 6 = 4 \cdot 36 - 12 = 144 - 12 = 132$ .
Знайдемо $a_{7}$ : $a_{7} = S_{7} - S_{6} = 182 - 132 = 50$ .

Відповідь:

$50$ .

Завдання 903

Сума членів прогресії з певного проміжку

Знайти суму членів арифметичної прогресії від шостого до двадцятого включно, якщо $a_{1} = 31$ і різниця $d = - 3$ .

Розв’язання

Знайдемо $S_{20}$ (сума перших 20 членів):
$S_{20} = \frac{20}{2} (2 \cdot 31 + (20 - 1) \cdot (- 3)) = 10 (62 - 57) = 10 \cdot 5 = 50$ .
Знайдемо $S_{5}$ (сума перших 5 членів):
$S_{5} = \frac{5}{2} (2 \cdot 31 + (5 - 1) \cdot (- 3)) = 2, 5 (62 - 12) = 2, 5 \cdot 50 = 125$ .
Знайдемо суму членів з 6 по 20: $S_{6 \dots 20} = S_{20} - S_{5} = 50 - 125 = - 75$ .

Відповідь:

$- 75$ .

Завдання 904

Сума членів прогресії за діапазоном

Дано арифметичну прогресію з початковими членами $- 17, - 15, - 13, \dots$ . Потрібно знайти суму членів від восьмого до двадцять шостого включно.

Розв’язання

Знайдемо різницю прогресії: $d = a_{2} - a_{1} = - 15 - (- 17) = 2$ . Перший член $a_{1} = - 17$ .
Запишемо формулу n-го члена: $a_{n} = - 17 + (n - 1) \cdot 2 = 2 n - 19$ .
Знайдемо перший доданок суми ( $n = 8$ ): $a_{8} = 2 \cdot 8 - 19 = 16 - 19 = - 3$ .
Знайдемо останній доданок суми ( $n = 26$ ): $a_{26} = 2 \cdot 26 - 19 = 52 - 19 = 33$ .
Кількість членів у сумі: $k = 26 - 8 + 1 = 19$ . Використаємо формулу суми арифметичної прогресії через перший і останній члени: $S = \frac{k ( a _{1}^{'} + a _{k}^{'} )}{2}$ .
Обчислимо суму: $S = \frac{19 ( - 3 + 33 )}{2} = \frac{19 \cdot 30}{2} = 19 \cdot 15 = 285$ .

Відповідь:

285

Завдання 905

Задача про кількість ударів годинника

Годинник відбиває час щопівгодини (раз на кожні 30 хвилин). Потрібно знайти загальну кількість ударів за 12 годин.

Розв’язання

За умовою годинник відбиває щопівгодини. Це означає, що за кожну годину проходить два інтервали по 30 хвилин.
Розглянемо один повний цикл (наприклад, з 12:00 до 12:00 наступного дня). За цей час пройшло 12 годин.
Удар відбувається на кожну годину (1 раз) і на кожні півгодини (ще 1 раз). Тобто за кожну годину відбивається $1 + 1 = 2$ удари? Ні, це не так. Давайте розпишемо:
- 12:00 — удар (1)
- 12:30 — удар (2)
- 13:00 — удар (3)
...
За кожну годину проходить 2 удари, але останній удар на межі години рахується для наступної години. Простіше подумати так: за 12 годин відбивається $12 \times 2 = 24$ рази? Перевіримо логіку.
Якщо відбиває щопівгодини, то це означає, що інтервал між ударами — 30 хв. За 12 годин (720 хв) кількість проміжків буде $720/30 = 24$ . Отже, ударів буде 24.
Але зазвичай в таких задачах враховують початковий момент. Якщо ми починаємо з 12:00 і йдемо до 12:00 наступного дня (12 годин), то кількість проміжків дійсно 24.
Однак, часто в таких задачах мається на увазі "відбиває час", тобто 1 раз на кожну годину і ще 1 раз на півгодини. Тобто за кожні 30 хв — 1 удар. За 12 годин це $12 \times 2 = 24$ удари.
Перевіримо: з 12:00 до 12:00 (12 годин). Удари: 12:00, 12:30, 13:00, ..., 23:30, 24:00. Якщо ми рахуємо до кінця 12-ї години включно, то це 25 ударів? Ні, умова "упродовж 12 год". Зазвичай це означає інтервал часу.
Давайте розглянемо стандартне рішення для таких задач: якщо відбиває щопівгодини, то за кожну годину проходить 2 удари (наприклад, на 0:00 і на 0:30). За 12 годин буде $12 \times 2 = 24$ удари.
Але є нюанс: якщо почати з 12:00 і закінчити на 12:00, то це 25 моментів часу? Ні, "упродовж 12 год" — це інтервал. Кількість інтервалів по 30 хв у 12 годинах = $12 \times 2 = 24$ . Отже, ударів буде 24.
Проте, якщо взяти до уваги, що годинник відбиває "час", то на кожну годину (наприклад, 13:00) він відбиває один раз, а на півгодини (13:30) — ще раз. Тобто за кожні 30 хв — 1 удар. За 12 годин це 24 удари.
Відповідь має бути 24.

Відповідь: