ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 172

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 872–885 · 14 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 16. Арифметична прогресія

Завдання 872

Знаходження змінної в арифметичній прогресії

За якого від'ємного значення $x$ значення виразів $x^{2} - 4$ , $3 - 5 x$ та $2 - 3 x$ будуть послідовними членами арифметичної прогресії?

Розв’язання

Запишемо умову прогресії як рівність різниць: $(3 - 5 x) - (x^{2} - 4) = (2 - 3 x) - (3 - 5 x)$ .
Спростимо ліву частину: $3 - 5 x - x^{2} + 4 = - x^{2} - 5 x + 7$ .
Спростимо праву частину: $2 - 3 x - 3 + 5 x = 2 x - 1$ .
Прирівняємо вирази: $- x^{2} - 5 x + 7 = 2 x - 1$ . Перенесемо всі доданки в одну частину: $x^{2} + 7 x - 8 = 0$ .
Знайдемо корені квадратного рівняння: $D = 49 - 4 \cdot 1 \cdot (- 8) = 81$ , $x_{1} = \frac{- 7 + 9}{2} = 1$ , $x_{2} = \frac{- 7 - 9}{2} = - 8$ .
Оскільки в умові вимагається від'ємне значення, обираємо $x = - 8$ .

Відповідь:

$x = - 8$

Завдання 873

Перевірка формули n-го члена на арифметичність

Чи є послідовності, задані формулами $a_{n} = 3 n + 1$ та $c_{n} = n^{2} + 2 n$ , арифметичними прогресіями?

Розв’язання

Розглянемо формулу $a_{n} = 3 n + 1$ . Це лінійна функція відносно $n$ (форма $an + b$ , де $a = 3, b = 1$ ). Отже, це арифметична прогресія з різницею $d = 3$ .
Розглянемо формулу $c_{n} = n^{2} + 2 n$ . Тут міститься добуток $n \cdot n$ , тобто $n^{2}$ . Це не лінійна функція, а квадратична. Отже, це не арифметична прогресія.

Відповідь:

а) Так; б) Ні

Завдання 874

Перевірка формули n-го члена на арифметичність (друга частина)

Чи є послідовності, задані формулами $b_{n} = 5 - 4 n$ та $c_{n} = n^{2} + 1$ , арифметичними прогресіями?

Розв’язання

Розглянемо формулу $b_{n} = 5 - 4 n$ . Це можна переписати як $- 4 n + 5$ , що є лінійною функцією ( $a = - 4, b = 5$ ). Отже, це арифметична прогресія з різницею $d = - 4$ .
Розглянемо формулу $c_{n} = n^{2} + 1$ . Тут присутня квадратна залежність від $n$ . Це не лінійна функція. Отже, це не арифметична прогресія.

Відповідь:

а) Так; б) Ні

Завдання 875

Знаходження n-го члена прогресії

Знайти формулу $n$ -го члена арифметичної прогресії для трьох випадків: а) $2, 5, 8, \dots$ ; б) $7, 6, 5, \dots$ ; в) $\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1, \dots$ .

Розв’язання

Для випадка а): Перший член $a_{1} = 2$ , різниця $d = 5 - 2 = 3$ . Формула: $a_{n} = 2 + (n - 1) \cdot 3 = 3 n - 1$ .
Для випадку б): Перший член $a_{1} = 7$ , різниця $d = 6 - 7 = - 1$ . Формула: $a_{n} = 7 + (n - 1) \cdot (- 1) = 8 - n$ .
Для випадку в): Перший член $a_{1} = \frac{1}{3}$ , різниця $d = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ . Формула: $a_{n} = \frac{1}{3} + (n - 1) \cdot \frac{1}{3} = \frac{n}{3}$ .

Відповідь:

а) $a_{n} = 3 n - 1$ ; б) $a_{n} = 8 - n$ ; в) $a_{n} = \frac{n}{3}$ .

Завдання 876

Запис формули прогресії за початковими членами

Знайти формулу $n$ -го члена арифметичної прогресії для двох випадків: а) $7, 12, \dots$ ; б) $- 2, 5, 0, 5, \dots$ .

Розв’язання

Для випадку а): Перший член $a_{1} = 7$ , різниця $d = 12 - 7 = 5$ . Формула: $a_{n} = 7 + (n - 1) \cdot 5 = 5 n + 2$ .
Для випадку б): Перший член $a_{1} = - 2, 5$ , різниця $d = 0, 5 - (- 2, 5) = 3$ . Формула: $a_{n} = - 2, 5 + (n - 1) \cdot 3 = 3 n - 5, 5$ .

Відповідь:

а) $a_{n} = 5 n + 2$ ; б) $a_{n} = 3 n - 5, 5$ .

Завдання 877

Запис формули прогресії за початковими членами (від'ємні числа)

Знайти формулу $n$ -го члена арифметичної прогресії для двох випадків: а) $- 25, - 19, \dots$ ; б) $- 4, 5, - 3, 7, \dots$ .

Розв’язання

Для випадку а): Перший член $a_{1} = - 25$ , різниця $d = - 19 - (- 25) = 6$ . Формула: $a_{n} = - 25 + (n - 1) \cdot 6 = 6 n - 31$ .
Для випадку б): Перший член $a_{1} = - 4, 5$ , різниця $d = - 3, 7 - (- 4, 5) = 0, 8$ . Формула: $a_{n} = - 4, 5 + (n - 1) \cdot 0, 8 = 0, 8 n - 5, 3$ .

Відповідь:

а) $a_{n} = 6 n - 31$ ; б) $a_{n} = 0, 8 n - 5, 3$ .

Завдання 878

Знаходження довжин відрізків у трикутнику

На стороні $C A$ кута $∠ A C B$ відкладено рівні відрізки, через їх кінці проведено паралельні прямі. Дано: $A_{1} B_{1} = 2, 5 см$ . Знайти довжини відрізків $A_{3} B_{3}$ , $A_{7} B_{7}$ та загальну формулу для $A_{n} B_{n}$ .

Розв’язання

Оскільки відрізки на стороні $A C$ рівні, то $A_{k} B_{k} = k \cdot A_{1} B_{1}$ . Для $k = 3$ : $A_{3} B_{3} = 3 \cdot 2, 5 см = 7, 5 см$ .
Для $k = 7$ : $A_{7} B_{7} = 7 \cdot 2, 5 см = 17, 5 см$ .
Загальна формула для $n$ -го члена: $A_{n} B_{n} = n \cdot A_{1} B_{1} = 2, 5 n см$ .

Відповідь:

$A_{3} B_{3} = 7, 5 см$ ; $A_{7} B_{7} = 17, 5 см$ ; $A_{n} B_{n} = 2, 5 n см$ .

Завдання 879

Доведення властивості арифметичної прогресії

Дано арифметичну прогресію $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$ та довільне число $c$ . Потрібно довести, що послідовність $c a_{1}, c a_{2}, c a_{3}, \dots$ також є арифметичною прогресією.

Розв’язання

Нехай $a_{n + 1} - a_{n} = d$ , де $d$ — стала різниця початкової прогресії.
Розглянемо різницю сусідніх членів нової послідовності: $(c \cdot a_{n + 1}) - (c \cdot a_{n})$ .
Виносимо спільний множник $c$ за дужки: $c (a_{n + 1} - a_{n}) = c \cdot d$ . Оскільки $c$ і $d$ — сталі числа, то їх добуток також є сталою величиною. Отже, нова послідовність є арифметичною прогресією з різницею $c \cdot d$ .

Відповідь:

Доведено, що послідовність $c a_{1}, c a_{2}, \dots$ є арифметичною прогресією.

Завдання 880

Властивість суми членів двох прогресій

Дано дві арифметичні прогресії $a_{1}, a_{2}, \dots$ та $x_{1}, x_{2}, \dots$ . Потрібно довести, що послідовність сума їх відповідних членів ( $a_{1} + x_{1}, a_{2} + x_{2}, \dots$ ) також є арифметичною прогресією.

Розв’язання

Нехай $a_{n + 1} - a_{n} = d_{1}$ та $x_{n + 1} - x_{n} = d_{2}$ , де $d_{1}$ і $d_{2}$ — сталі числа.
Розглянемо різницю сусідніх членів нової послідовності: $(a_{n + 1} + x_{n + 1}) - (a_{n} + x_{n})$ .
Групуємо доданки: $(a_{n + 1} - a_{n}) + (x_{n + 1} - x_{n}) = d_{1} + d_{2}$ . Оскільки $d_{1}$ і $d_{2}$ — сталі, то їх сума $d = d_{1} + d_{2}$ також є сталою. Отже, нова послідовність є арифметичною прогресією з різницею $d$ .

Відповідь:

Доведено, що послідовність сум є арифметичною прогресією.

Завдання 881

Властивості суми членів прогресії

Дано арифметичну прогресію з $n$ -м членом $a_{n}$ . Потрібно довести дві рівності: а) $a_{2} + a_{23} = a_{13} + a_{12}$ ; б) $a_{20} - a_{16} = a_{10} - a_{6}$ .

Розв’язання

Запишемо загальний вираз для кожного члена через перший член $a_{1}$ і різницю $d$ : $a_{k} = a_{1} + (k - 1) d$ .
Розглянемо пункт а): підставимо формулу в ліву частину ( $a_{2} + a_{23}$ ) та праву частину ( $a_{13} + a_{12}$ ). Отримаємо $(a_{1} + d) + (a_{1} + 22 d)$ і $(a_{1} + 12 d) + (a_{1} + 11 d)$ .
Спростимо обидві частини: $2 a_{1} + 23 d$ дорівнює $2 a_{1} + 23 d$ , отже рівність виконується.
Розглянемо пункт б): виразимо різниці через різницю прогресії $d$ . Ліва частина: $(a_{1} + 19 d) - (a_{1} + 15 d) = 4 d$ . Права частина: $(a_{1} + 9 d) - (a_{1} + 5 d) = 4 d$ .

Відповідь:

а) Доведено ( $a_{2} + a_{23} = a_{13} + a_{12}$ ); б) Доведено ( $a_{20} - a_{16} = a_{10} - a_{6}$ ).

Завдання 882

Задача Феофана Прокоповича про коней

Ціна найгіршого коня — $4$ золотих, ціна найкращого — $55$ золотих. Ціна кожного наступного коня на $3$ золотих дорожча за попереднього (арифметична прогресія). Потрібно знайти кількість коней.

Розв’язання

Перший член (найгірший кінь): $a_{1} = 4$ . Останній член (найкращий кінь): $a_{n} = 55$ . Різниця прогресії: $d = 3$ .
Складемо рівняння для знаходження номера останнього члена $n$ : $\frac{55 - 4}{3} + 1$ .
Обчислимо різницю чисел у чисельнику: $55 - 4 = 51$ . Поділимо на різницю прогресії: $51 : 3 = 17$ . Додамо одиницю: $17 + 1 = 18$ .

Відповідь:

Усього було 18 коней.

Завдання 883

Розрахунок дистанції плавця за 10 тижнів

Перший тиждень плавець проплив $450$ м. Наступні тренування (поки не досягнуто $1000$ м) — на $50$ м більше попереднього. Після досягнення результату $1000$ м кожен раз пливе по $1000$ м. Тренується 3 рази на тиждень протягом 10 тижнів.

Розв’язання

Знайдемо кількість тренувань на етапі зростання дистанції (арифметична прогресія): $a_{1} = 450$ , $d = 50$ , $a_{n} = 1000$ . Кількість кроків: $\frac{1000 - 450}{50} = 11$ збільшень. Отже, таких тренувань було $12$ (перше + 11 наступних).
Знайдемо суму відстаней за ці 12 тренувань: сума арифметичної прогресії $S_{12} = \frac{12}{2} (450 + 1000) = 6 \cdot 1450 = 8700$ м.
Тепер визначимо, скільки тренувань було на етапі після досягнення $1000$ м. Загалом за 10 тижнів по 3 рази — це $30$ тренувань. З них 12 було на етапі зростання. Залишилось $30 - 12 = 18$ тренувань по $1000$ м.
Обчислимо відстань за ці 18 тренувань: $18 \cdot 1000 = 18000$ м.
Загальна відстань у метрах: $8700 + 18000 = 26700$ м. Переведемо в кілометри: $26, 7$ км.

Відповідь:

Плавець проплив за перші 10 тижнів $26, 7$ км.

Завдання 884

Знаходження суми арифметичної прогресії за початковими членами та кількістю членів

Дано арифметичну прогресію. Знайти суму перших $n$ членів ( $S_{n}$ ) у двох випадках:
а) Перший член $a_{1} = 1$ , п'ятий член $a_{5} = 3$ , кількість членів $n = 40$ .
б) Третій член $a_{3} = 7$ , дев'ятий член $a_{9} = 19$ , кількість членів $n = 50$ .

Розв’язання

Випадок а):
Знайдемо різницю $d$ . Відомо, що $a_{5} = a_{1} + 4 d$ .
Підставимо числа: $3 = 1 + 4 d \Rightarrow 4 d = 2 \Rightarrow d = 0, 5$ .
Знайдемо останній член $a_{40}$ : $a_{40} = a_{1} + 39 d = 1 + 39 \cdot 0, 5 = 1 + 19, 5 = 20, 5$ .
Обчислимо суму: $S_{40} = \frac{40 ( 1 + 20 , 5 )}{2} = 20 \cdot 21, 5 = 430$ .
Випадок б):
Знайдемо різницю $d$ . Відомо, що $a_{9} = a_{3} + (9 - 3) d = a_{3} + 6 d$ .
Підставимо числа: $19 = 7 + 6 d \Rightarrow 6 d = 12 \Rightarrow d = 2$ .
Знайдемо останній член $a_{50}$ : $a_{50} = a_{3} + (50 - 3) d = 7 + 47 \cdot 2 = 7 + 94 = 101$ .
Обчислимо суму: $S_{50} = \frac{50 ( 7 + 101 )}{2} = 25 \cdot 108 = 2700$ .

Відповідь:

а) $430$ ; б) $2700$ .

---

Завдання 885

Знаходження суми арифметичної прогресії за іншими членами та кількістю членів

Дано арифметичну прогресію. Знайти суму перших $n$ членів ( $S_{n}$ ) у двох випадках:
а) Другий член $a_{2} = 5$ , четвертий член $a_{4} = 11$ , кількість членів $n = 100$ .
б) Четвертий член $a_{4} = 9$ , десятий член $a_{10} = - 3$ , кількість членів $n = 28$ .

Розв’язання

Випадок а):
Знайдемо різницю $d$ . Відомо, що $a_{4} = a_{2} + (4 - 2) d = a_{2} + 2 d$ .
Підставимо числа: $11 = 5 + 2 d \Rightarrow 2 d = 6 \Rightarrow d = 3$ .
Знайдемо останній член $a_{100}$ : $a_{100} = a_{4} + (100 - 4) d = 11 + 96 \cdot 3 = 11 + 288 = 299$ .
Обчислимо суму: $S_{100} = \frac{100 ( 5 + 299 )}{2} = 50 \cdot 304 = 15200$ .
Випадок б):
Знайдемо різницю $d$ . Відомо, що $a_{10} = a_{4} + (10 - 4) d = a_{4} + 6 d$ .
Підставимо числа: $- 3 = 9 + 6 d \Rightarrow 6 d = - 12 \Rightarrow d = - 2$ .
Знайдемо останній член $a_{28}$ : $a_{28} = a_{4} + (28 - 4) d = 9 + 24 \cdot (- 2) = 9 - 48 = - 39$ .
Обчислимо суму: $S_{28} = \frac{28 ( 9 + ( - 39 ))}{2} = 14 \cdot (- 30) = - 420$ .

Відповідь:

а) $15200$ ; б) $- 420$ .