ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 171

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 855–871 · 17 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 16. Арифметична прогресія

Завдання 855

Задача про копання криниці

За перший метр платять 30 грн, за кожний наступний — на 20 грн більше. Знайти загальну суму за 12 метрів.

Розв’язання

Перший член прогресії $a_{1} = 30$ . Різниця $d = 20$ . Загальна формула $n$ -го члена: $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d = 30 + (n - 1) \cdot 20 = 20 n + 10$ .
Знайдемо виплату за 12-й метр ( $a_{12}$ ): $a_{12} = 20 \cdot 12 + 10 = 240 + 10 = 250$ грн.
Обчислимо суму виплат за 12 метрів: $S_{12} = \frac{12}{2} (a_{1} + a_{12}) = 6 (30 + 250) = 6 \cdot 280 = 1680$ грн.

Відповідь:

1680 грн

Завдання 856

Знайти 30-й член прогресії

Дано арифметичну прогресію $a_{1}, a_{2}, \dots$ . Знайти $a_{30}$ за умови: а) $a_{2} = 3, a_{4} = 4$ ; б) $a_{1} = 8, a_{5} - a_{3} = 6$ .

Розв’язання

а) 1. Знайдемо різницю: $d = \frac{a _{4} - a _{2}}{4 - 2} = \frac{4 - 3}{2} = 0, 5$ .
Знайдемо перший член: $a_{1} = a_{2} - d = 3 - 0, 5 = 2, 5$ .
Обчислимо $a_{30}$ : $a_{30} = 2, 5 + (30 - 1) \cdot 0, 5 = 2, 5 + 14, 5 = 17$ .
б) 1. Знайдемо різницю: $d = \frac{( a _{5} - a _{3} )}{5 - 3} = \frac{6}{2} = 3$ .
Перший член: $a_{1} = a_{5} - 4 d = (a_{3} + 3) - 4 (3) = (a_{1} + 3 \cdot 3) - 12 \Rightarrow$ простіше через $a_{1}$ : $a_{5} = a_{1} + 4 d$ , $a_{3} = a_{1} + 2 d$ . Різниця $(a_{1} + 4 d) - (a_{1} + 2 d) = 2 d = 6 \Rightarrow d = 3$ .
Знайдемо $a_{1}$ : $a_{5} = a_{1} + 4 \cdot 3 \Rightarrow a_{1} = a_{5} - 12$ . Але ми не знаємо $a_{5}$ окремо, маємо лише різницю. Перевіримо умову: $a_{5} - a_{3} = 6$ . Це дає $d = 3$ . Щоб знайти $a_{30}$ , треба знати $a_{1}$ . Умова б) не містить конкретного значення для одного з членів, лише їх різницю. Перечитаємо: "б) $a_{1} = 8$ ". Тоді $a_{1} = 8$ , $d = 3$ .
Обчислимо $a_{30}$ : $a_{30} = 8 + (30 - 1) \cdot 3 = 8 + 29 \cdot 3 = 8 + 87 = 95$ .

Відповідь:

а) 17; б) 95

Завдання 857

Знайти 30-й член прогресії

Дано арифметичну прогресію $a_{1}, a_{2}, \dots$ . Знайти $a_{30}$ за умови: а) $a_{5} = 9, a_{7} = 13$ ; б) $a_{2} = 5, a_{5} - a_{1} = 12$ .

Розв’язання

а) 1. Знайдемо різницю: $d = \frac{a _{7} - a _{5}}{7 - 5} = \frac{13 - 9}{2} = 2$ .
Знайдемо перший член: $a_{5} = a_{1} + 4 d \Rightarrow 9 = a_{1} + 8 \Rightarrow a_{1} = 1$ .
Обчислимо $a_{30}$ : $a_{30} = 1 + (30 - 1) \cdot 2 = 1 + 58 = 59$ .
б) 1. Знайдемо різницю з умови $a_{5} - a_{1} = 12$ : $(a_{1} + 4 d) - a_{1} = 4 d = 12 \Rightarrow d = 3$ .
Знайдемо перший член: $a_{2} = a_{1} + d \Rightarrow 5 = a_{1} + 3 \Rightarrow a_{1} = 2$ .
Обчислимо $a_{30}$ : $a_{30} = 2 + (30 - 1) \cdot 3 = 2 + 87 = 89$ .

Відповідь:

а) 59; б) 89

Завдання 858

Знаходження першого члена, різниці та n-го члена прогресії

Дано арифметичну прогресію $a_{1}, a_{2}, \dots$ . Знайти $a_{1}$ , $d$ та $a_{n}$ , якщо:
а) $a_{4} = 10$ , $a_{7} = 19$ , $n = 26$ ;
б) $a_{5} = 5, 2$ , $a_{9} = 6, 8$ , $n = 31$ .

Розв’язання

Для пункту а): Знайдемо різницю $d = \frac{a _{7} - a _{4}}{7 - 4} = \frac{19 - 10}{3} = \frac{9}{3} = 3$ . Тепер знайдемо перший член: $a_{1} = a_{4} - d (4 - 1) = 10 - 3 \cdot 3 = 1$ . Запишемо формулу n-го члена: $a_{n} = 1 + (n - 1) \cdot 3 = 3 n - 2$ .
Для пункту б): Знайдемо різницю $d = \frac{a _{9} - a _{5}}{9 - 5} = \frac{6 , 8 - 5 , 2}{4} = \frac{1 , 6}{4} = 0, 4$ . Тепер знайдемо перший член: $a_{1} = a_{5} - d (5 - 1) = 5, 2 - 0, 4 \cdot 4 = 3, 6$ . Запишемо формулу n-го члена: $a_{n} = 3, 6 + (n - 1) \cdot 0, 4 = 0, 4 n + 3, 2$ .

Відповідь:

а) $a_{1} = 1$ , $d = 3$ , $a_{n} = 3 n - 2$ ; б) $a_{1} = 3, 6$ , $d = 0, 4$ , $a_{n} = 0, 4 n + 3, 2$ .

Завдання 859

Знаходження параметрів прогресії за двома членами

Дано арифметичну прогресію $a_{1}, a_{2}, \dots$ . Знайти $a_{1}$ , $d$ та $a_{n}$ , якщо:
а) $a_{5} = 8, 2$ , $a_{10} = 4, 7$ , $n = 51$ ;
б) $a_{8} = 11, 2$ , $a_{15} = 19, 6$ , $n = 17$ .

Розв’язання

Для пункту а): Знайдемо різницю $d = \frac{a _{10} - a _{5}}{10 - 5} = \frac{4 , 7 - 8 , 2}{5} = \frac{- 3 , 5}{5} = - 0, 7$ . Знайдемо перший член: $a_{1} = a_{5} - d (5 - 1) = 8, 2 - (- 0, 7) \cdot 4 = 8, 2 + 2, 8 = 11$ . Формула n-го члена: $a_{n} = 11 + (n - 1) (- 0, 7) = - 0, 7 n + 11, 7$ .
Для пункту б): Знайдемо різницю $d = \frac{a _{15} - a _{8}}{15 - 8} = \frac{19 , 6 - 11 , 2}{7} = \frac{8 , 4}{7} = 1, 2$ . Знайдемо перший член: $a_{1} = a_{8} - d (8 - 1) = 11, 2 - 1, 2 \cdot 7 = 11, 2 - 8, 4 = 2, 8$ . Формула n-го члена: $a_{n} = 2, 8 + (n - 1) \cdot 1, 2 = 1, 2 n + 1, 6$ .

Відповідь:

а) $a_{1} = 11$ , $d = - 0, 7$ , $a_{n} = - 0, 7 n + 11, 7$ ; б) $a_{1} = 2, 8$ , $d = 1, 2$ , $a_{n} = 1, 2 n + 1, 6$ .

Завдання 860

Знаходження конкретного члена прогресії за сумою двох його членів

Дано арифметичну прогресію. Знайти восьмий член $a_{8}$ , якщо $a_{2} + a_{14} = 20$ .

Розв’язання

Запишемо формули для $a_{2}$ та $a_{14}$ через перший член $a_{1}$ і різницю $d$ : $a_{2} = a_{1} + d$ , $a_{14} = a_{1} + 13 d$ .
Складемо рівняння: $(a_{1} + d) + (a_{1} + 13 d) = 20 \Rightarrow 2 a_{1} + 14 d = 20$ .
Виділимо спільний множник: $2 (a_{1} + 7 d) = 20$ . Зауважимо, що $a_{8} = a_{1} + (8 - 1) d = a_{1} + 7 d$ . Отже, $2 \cdot a_{8} = 20$ .
Знайдемо шукане значення: $a_{8} = 10$ .

Відповідь:

$a_{8} = 10$ .

Завдання 861

Перевірка чисел на наявність у прогресії

Дано арифметичну прогресію з загальним членом $a_{n}$ . Потрібно визначити, які з чисел $- 26$ , $16$ , $35$ , $131$ є її членами.
а) Формула: $a_{n} = 5 n - 19$ .
б) Формула: $b_{n} = 0, 3 n + 11$ .

Розв’язання

Розглянемо випадок а) $a_{n} = 5 n - 19$ :
- Для числа $- 26$ : $5 n - 19 = - 26 \Rightarrow 5 n = - 7 \Rightarrow n = - 1, 4$ (не ціле).
- Для числа $16$ : $5 n - 19 = 16 \Rightarrow 5 n = 35 \Rightarrow n = 7$ (ціле, підходить).
- Для числа $35$ : $5 n - 19 = 35 \Rightarrow 5 n = 54 \Rightarrow n = 10, 8$ (не ціле).
- Для числа $131$ : $5 n - 19 = 131 \Rightarrow 5 n = 150 \Rightarrow n = 30$ (ціле, підходить).
Розглянемо випадок б) $b_{n} = 0, 3 n + 11$ :
- Для числа $- 26$ : $0, 3 n + 11 = - 26 \Rightarrow 0, 3 n = - 37 \Rightarrow n = - 123, 3$ (не ціле).
- Для числа $16$ : $0, 3 n + 11 = 16 \Rightarrow 0, 3 n = 5 \Rightarrow n = 16, 6$ (не ціле).
- Для числа $35$ : $0, 3 n + 11 = 35 \Rightarrow 0, 3 n = 24 \Rightarrow n = 80$ (ціле, підходить).
- Для числа $131$ : $0, 3 n + 11 = 131 \Rightarrow 0, 3 n = 120 \Rightarrow n = 400$ (ціле, підходить).

Відповідь:

а) Членами є числа $16$ і $131$ . б) Членами є числа $35$ і $131$ .

Завдання 862

Перевірка чисел на наявність у прогресії

Дано арифметичну прогресію з загальним членом $c_{n} = 97 - 2 n$ . Потрібно визначити, які з чисел $- 23$ , $- 14$ , $3$ , $144$ є її членами.

Розв’язання

Для числа $- 23$ : $97 - 2 n = - 23 \Rightarrow - 2 n = - 120 \Rightarrow n = 60$ . Це ціле число, отже $- 23$ є членом.
Для числа $- 14$ : $97 - 2 n = - 14 \Rightarrow - 2 n = - 111 \Rightarrow n = 55, 5$ . Не ціле, не є членом.
Для числа $3$ : $97 - 2 n = 3 \Rightarrow - 2 n = - 94 \Rightarrow n = 47$ . Це ціле число, отже $3$ є членом.
Для числа $144$ : $97 - 2 n = 144 \Rightarrow - 2 n = 47 \Rightarrow n = - 23, 5$ . Не ціле і від'ємне, не є членом.

Відповідь:

Членами арифметичної прогресії є числа $- 23$ і $3$ .

Завдання 863

Вставлення пропущених членів прогресії

Між числами $3$ і $19$ потрібно вставити три числа, щоб отримати арифметичну прогресію.

Розв’язання

Визначаємо кількість членів прогресії: $n = 3 + 2 = 5$ . Останній член — п'ятий ( $a_{5}$ ).
Знаходимо різницю прогресії $d$ : $d = \frac{19 - 3}{5 - 1} = \frac{16}{4} = 4$ .
Обчислюємо проміжні члени:
- Другий член: $a_{2} = 3 + 4 = 7$ .
- Третій член: $a_{3} = 7 + 4 = 11$ .
- Четвертий член: $a_{4} = 11 + 4 = 15$ .

Відповідь:

Вставлені числа: $7$ , $11$ , $15$ .

Завдання 864

Вставлення проміжних членів прогресії

Між числами $- 7$ і $8$ вставте чотири такі числа, щоб вони разом з даними числами утворювали арифметичну прогресію.

Розв’язання

Початкове число $a_{1} = - 7$ , кінцеве число $a_{k + 2} = 8$ . Кількість проміжних членів $k = 4$ , отже загальна кількість членів $n = 4 + 2 = 6$ .
Знайдемо різницю прогресії: $d = \frac{8 - ( - 7 )}{6} = \frac{15}{6} = 2, 5$ .
Обчислимо проміжні члени:
Другий член: $- 7 + 2, 5 = - 4, 5$ ;
Третій член: $- 4, 5 + 2, 5 = - 2$ ;
Четвертий член: $- 2 + 2, 5 = - 0, 5$ ;
П'ятий член: $- 0, 5 + 2, 5 = 2$ .

Відповідь:

Вставлені числа: $- 4, 5$ , $- 2$ , $- 0, 5$ , $2$ .

Завдання 865

Кількість від'ємних членів прогресії

Скільки від'ємних членів містить арифметична прогресія: а) $- 10, 3$ , $- 8, 6$ , ...; б) $- 37, 5$ , $- 35, 7$ , ...?

Розв’язання

а) Знайдемо різницю: $d = - 8, 6 - (- 10, 3) = 1, 7$ . Формула члена: $a_{n} = - 10, 3 + (n - 1) \cdot 1, 7$ .
Розв'яжемо нерівність для знаходження останнього від'ємного члена: $- 10, 3 + 1, 7 (n - 1) < 0 \Rightarrow 1, 7 n - 1, 7 - 10, 3 < 0 \Rightarrow 1, 7 n < 12 \Rightarrow n < 7, 05$ .
Максимальне ціле значення $n$ — це 7. Перевіримо: $a_{7} = - 10, 3 + 6 \cdot 1, 7 = - 1, 1$ (від'ємне), а $a_{8} = 0, 6$ (додатне). Отже, від'ємних членів 7.
б) Знайдемо різницю: $d = - 35, 7 - (- 37, 5) = 1, 8$ . Формула члена: $a_{n} = - 37, 5 + (n - 1) \cdot 1, 8$ .
Розв'яжемо нерівність: $- 37, 5 + 1, 8 (n - 1) < 0 \Rightarrow 1, 8 n - 1, 8 - 37, 5 < 0 \Rightarrow 1, 8 n < 39, 3 \Rightarrow n < 21, 83$ .
Максимальне ціле значення $n$ — це 21. Перевіримо: $a_{21} = - 37, 5 + 20 \cdot 1, 8 = - 37, 5 + 36 = - 1, 5$ (від'ємне), а $a_{22} = 0, 3$ (додатне). Отже, від'ємних членів 21.

Відповідь:

а) 7 членів; б) 21 член.

Завдання 866

Кількість додатних членів прогресії

Скільки додатних членів містить арифметична прогресія: а) $2, 5$ ; $2, 3$ ; $2, 1$ , ...; б) $176$ ; $151$ ; $126$ , ...?

Розв’язання

а) Знайдемо різницю: $d = 2, 3 - 2, 5 = - 0, 2$ . Формула члена: $a_{n} = 2, 5 + (n - 1) (- 0, 2)$ .
Розв'яжемо нерівність для додатних членів: $2, 5 - 0, 2 (n - 1) > 0 \Rightarrow 2, 5 - 0, 2 n + 0, 2 > 0 \Rightarrow 2, 7 > 0, 2 n \Rightarrow n < 13, 5$ .
Максимальне ціле значення $n$ — це 13. Перевіримо: $a_{13} = 2, 5 - 12 \cdot 0, 2 = 0, 1$ (додатне), а $a_{14} = - 0, 1$ (від'ємне). Отже, додатних членів 13.
б) Знайдемо різницю: $d = 151 - 176 = - 25$ . Формула члена: $a_{n} = 176 + (n - 1) (- 25)$ .
Розв'яжемо нерівність: $176 - 25 (n - 1) > 0 \Rightarrow 176 - 25 n + 25 > 0 \Rightarrow 201 > 25 n \Rightarrow n < 8, 04$ .
Максимальне ціле значення $n$ — це 8. Перевіримо: $a_{8} = 176 - 7 \cdot 25 = 176 - 175 = 1$ (додатне), а $a_{9} = - 24$ (від'ємне). Отже, додатних членів 8.

Відповідь:

а) 13 членів; б) 8 членів.

Завдання 867

Знаходження першого додатного члена прогресії

а) $- 32, - 30, - 28, \dots$ ; б) $- 8 \frac{1}{2}, - 8, - 7 \frac{1}{2}, \dots$ .

Розв’язання

а) Знаходимо різницю: $d = - 30 - (- 32) = 2$ . Формула члена: $a_{n} = - 32 + (n - 1) \cdot 2 = 2 n - 34$ .
б) Переводимо мішані дроби в десяткові або неправильні: $- 8 \frac{1}{2} = - 8, 5$ , $- 7 \frac{1}{2} = - 7, 5$ . Різниця: $d = - 8 - (- 8, 5) = 0, 5$ . Формула члена: $a_{n} = - 8, 5 + (n - 1) \cdot 0, 5 = 0, 5 n - 9$ .
а) Шукаємо перше додатне число: $2 n - 34 > 0 \Rightarrow 2 n > 34 \Rightarrow n > 17$ . Перше ціле $n = 18$ . Знаходимо член: $a_{18} = 2 \cdot 18 - 34 = 36 - 34 = 2$ .
б) Шукаємо перше додатне число: $0, 5 n - 9 > 0 \Rightarrow 0, 5 n > 9 \Rightarrow n > 18$ . Перше ціле $n = 19$ . Знаходимо член: $a_{19} = 0, 5 \cdot 19 - 9 = 9, 5 - 9 = 0, 5$ .

Відповідь:

а) $2$ ; б) $0, 5$ .

Завдання 868

Кількість членів прогресії в проміжку

Прогресія $10, 16, 22, \dots$ . Потрібно знайти кількість членів між числами $110$ і $345$ .

Розв’язання

Записуємо нерівність: $110 < 6 n + 4 < 345$ .
Віднімаємо 4 від усіх частин: $106 < 6 n < 341$ .
Ділимо на 6: $17, 66 \dots < n < 56, 83 \dots$ .
Цілі значення $n$ починаються з 18 і закінчуються на 56. Кількість таких чисел: $56 - 18 + 1 = 39$ .

Відповідь:

39 членів.

Завдання 869

Кількість членів прогресії в проміжку

Прогресія $5, 8, 11, \dots$ . Потрібно знайти кількість членів між числами $96$ і $246$ .

Розв’язання

Записуємо нерівність: $96 < 3 n + 2 < 246$ .
Віднімаємо 2 від усіх частин: $94 < 3 n < 244$ .
Ділимо на 3: $31, 33 \dots < n < 81, 33 \dots$ .
Цілі значення $n$ починаються з 32 і закінчуються на 81. Кількість таких чисел: $81 - 32 + 1 = 50$ .

Відповідь:

50 членів.

Завдання 870

Знаходження змінної в арифметичній прогресії

Знайти $x$ , щоб числа $2 x^{2}$ , $3 x + 2$ , $4 x^{2} + 4$ були послідовними членами арифметичної прогресії. Знайти самі члени цієї прогресії.

Розв’язання

Запишемо умову прогресії у вигляді рівняння: $(3 x + 2) - 2 x^{2} = (4 x^{2} + 4) - (3 x + 2)$ .
Спростимо ліву частину: $- 2 x^{2} + 3 x + 2$ . Праву частину: $4 x^{2} - 3 x + 2$ . Прирівняємо: $- 2 x^{2} + 3 x + 2 = 4 x^{2} - 3 x + 2$ .
Перенесемо всі доданки в одну частину: $6 x^{2} - 6 x = 0$ . Виділимо спільний множник: $6 x (x - 1) = 0$ . Отримуємо корені $x_{1} = 0$ та $x_{2} = 1$ .
Перевіримо отримані значення. Якщо $x = 0$ , члени будуть $0, 2, 4$ (різниця 2). Якщо $x = 1$ , члени будуть $2, 5, 8$ (різниця 3). Обидва випадки є арифметичними прогресіями.

Відповідь:

$x = 0$ або $x = 1$ . При $x = 0$ прогресія: $0, 2, 4, \dots$ . При $x = 1$ прогресія: $2, 5, 8, \dots$ .

Завдання 871

Знаходження змінної в арифметичній прогресії

Знайти $y$ , щоб числа $2 y$ , $y^{2} + 5$ , $3 y^{2} + 2$ були послідовними членами арифметичної прогресії. Знайти члени цієї прогресії.

Розв’язання

Запишемо рівняння прогресії: $y^{2} - 2 y + 5 = 2 y^{2} - y - 3$ .
Перенесемо всі доданки в одну частину і спростимо: $y^{2} + y - 8 = 0$ .
Знайдемо дискримінант рівняння: $D = b^{2} - 4 a c = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8) = 1 + 32 = 33$ .
Корені рівняння: $y_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 33}{2}$ . Оскільки $33$ не є цілим числом, відповідь залишимо у вигляді коренів.
Знайдемо перші три члени прогресії для кожного $y$ . Для $y_{1}$ : $a_{1} = 2 \cdot \frac{- 1 + 33}{2} = - 1 + 33$ , $a_{2} = (\frac{- 1 + 33}{2})^{2} + 5$ , $a_{3} = 3 (\frac{- 1 + 33}{2})^{2} + 2$ . Аналогічно для $y_{2}$ .

Відповідь:

$y = \frac{- 1 \pm 33}{2}$ . Члени прогресії залежать від обраного значення $y$ і виражаються через ці корені.