ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 170

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 838–854 · 17 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 16. Арифметична прогресія

Завдання 838

Знайди перший член, різницю та 21-й член за формулою

Дано формули $n$ -го члена арифметичної прогресії $(a_{n})$ :
а) $a_{n} = 6 n - 3$ ;
б) $a_{n} = - 5 n + 9$ .
Знайти $a_{1}$ , $d$ , $a_{21}$ .

Розв’язання

а) Порівнюємо $6 n - 3$ з $d n + (a_{1} - d)$ . Коефіцієнт при $n$ дорівнює $d$ , отже $d = 6$ . Вільний доданок $- 3$ дорівнює $a_{1} - d$ , тобто $a_{1} - 6 = - 3 \Rightarrow a_{1} = 3$ . Знаходимо $a_{21}$ : $a_{21} = 6 \cdot 21 - 3 = 126 - 3 = 123$ .
б) Порівнюємо $- 5 n + 9$ з $d n + (a_{1} - d)$ . Коефіцієнт при $n$ дорівнює $d$ , отже $d = - 5$ . Вільний доданок $9$ дорівнює $a_{1} - d$ , тобто $a_{1} - (- 5) = 9 \Rightarrow a_{1} + 5 = 9 \Rightarrow a_{1} = 4$ . Знаходимо $a_{21}$ : $a_{21} = - 5 \cdot 21 + 9 = - 105 + 9 = - 96$ .

Відповідь:

а) $a_{1} = 3$ , $d = 6$ , $a_{21} = 123$ ; б) $a_{1} = 4$ , $d = - 5$ , $a_{21} = - 96$ .

Завдання 839

Знайди перший член, різницю та 21-й член за формулою

Дано формули $n$ -го члена арифметичної прогресії $(a_{n})$ :
а) $a_{n} = 12 - 4 n$ ;
б) $a_{n} = 2 n + 15$ .
Знайти $a_{1}$ , $d$ , $a_{21}$ .

Розв’язання

а) Записуємо як $- 4 n + 12$ . Коефіцієнт при $n$ є $d = - 4$ . Вільний доданок $12$ дорівнює $a_{1} - d$ , тобто $a_{1} - (- 4) = 12 \Rightarrow a_{1} + 4 = 12 \Rightarrow a_{1} = 8$ . Знаходимо $a_{21}$ : $a_{21} = - 4 \cdot 21 + 12 = - 84 + 12 = - 72$ .
б) Записуємо як $2 n + 15$ . Коефіцієнт при $n$ є $d = 2$ . Вільний доданок $15$ дорівнює $a_{1} - d$ , тобто $a_{1} - 2 = 15 \Rightarrow a_{1} = 17$ . Знаходимо $a_{21}$ : $a_{21} = 2 \cdot 21 + 15 = 42 + 15 = 57$ .

Відповідь:

а) $a_{1} = 8$ , $d = - 4$ , $a_{21} = - 72$ ; б) $a_{1} = 17$ , $d = 2$ , $a_{21} = 57$ .

Завдання 840

Знайди суму перших десяти членів прогресії

Дано початковий ( $a_{1}$ ) та десятий ( $a_{10}$ ) члени арифметичної прогресії, знайти їхню суму $S_{10}$ .
а) $a_{1} = - 35$ , $a_{10} = 10$ ;
б) $a_{1} = 20$ , $a_{10} = 21, 8$ .

Розв’язання

а) Підставляємо значення у формулу $S_{10} = \frac{10 ( a _{1} + a _{10} )}{2}$ : $S_{10} = \frac{10 ( - 35 + 10 )}{2} = \frac{10 \cdot ( - 25 )}{2} = - 125$ .
б) Підставляємо значення у формулу $S_{10} = \frac{10 ( a _{1} + a _{10} )}{2}$ : $S_{10} = \frac{10 ( 20 + 21 , 8 )}{2} = \frac{10 \cdot 41 , 8}{2} = 5 \cdot 41, 8 = 209$ .

Відповідь:

а) $S_{10} = - 125$ ; б) $S_{10} = 209$ .

Завдання 841

Сума перших десяти членів прогресії

Дано $a_{1} = - 2, 5$ , $a_{10} = 2$ . Знайти суму перших десяти членів арифметичної прогресії.

Розв’язання

Підставимо значення $n = 10$ , $a_{1} = - 2, 5$ та $a_{10} = 2$ у формулу для суми: $S_{10} = \frac{10 ( - 2 , 5 + 2 )}{2}$ .
Обчислимо вираз у дужках: $- 2, 5 + 2 = - 0, 5$ . Далі множимо на 10 і ділимо на 2: $\frac{10 \cdot ( - 0 , 5 )}{2} = \frac{- 5}{2} = - 2, 5$ .

Відповідь:

$- 2, 5$

Завдання 842

Сума перших сорока членів прогресії

Дано $a_{1} = 2$ , $d = 3$ . Знайти суму перших сорока членів арифметичної прогресії.

Розв’язання

Знайдемо 40-й член прогресії: $a_{40} = a_{1} + (40 - 1) d = 2 + 39 \cdot 3 = 2 + 117 = 119$ .
Обчислимо суму перших сорока членів за формулою: $S_{40} = \frac{40 ( 2 + 119 )}{2} = \frac{40 \cdot 121}{2} = 20 \cdot 121 = 2420$ .

Відповідь:

$2420$

Завдання 843

Сума перших сорока членів прогресії

Дано $a_{1} = 7$ , $d = 2$ . Знайти суму перших сорока членів арифметичної прогресії.

Розв’язання

Знайдемо 40-й член прогресії: $a_{40} = a_{1} + (40 - 1) d = 7 + 39 \cdot 2 = 7 + 78 = 85$ .
Обчислимо суму перших сорока членів: $S_{40} = \frac{40 ( 7 + 85 )}{2} = \frac{40 \cdot 92}{2} = 20 \cdot 92 = 1840$ .

Відповідь:

$1840$

Завдання 844

Сума перших ста членів прогресії за початковими членами

Знайти суму перших ста членів арифметичної прогресії $(a_{n})$ , якщо:
а) $50, 49, 48, \dots$ ;
б) $16, 13, 10, 7, \dots$ .

Розв’язання

Для пункту а): Перший член $a_{1} = 50$ , другий $a_{2} = 49$ . Різниця $d = a_{2} - a_{1} = 49 - 50 = - 1$ . Знайдемо 100-й член: $a_{100} = 50 + (100 - 1) (- 1) = 50 - 99 = - 49$ .
Обчислимо суму за формулою: $S_{100} = \frac{100 ( 50 + ( - 49 ))}{2} = \frac{100 \cdot 1}{2} = 50$ .
Для пункту б): Перший член $a_{1} = 16$ , другий $a_{2} = 13$ . Різниця $d = 13 - 16 = - 3$ . Знайдемо 100-й член: $a_{100} = 16 + (100 - 1) (- 3) = 16 - 297 = - 281$ .
Обчислимо суму за формулою: $S_{100} = \frac{100 ( 16 + ( - 281 ))}{2} = \frac{100 ( - 265 )}{2} = 50 \cdot (- 265) = - 13250$ .

Відповідь:

а) $S_{100} = 50$ ; б) $S_{100} = - 13250$ .

Завдання 845

Сума перших ста членів прогресії за початковими членами (продовження)

Знайти суму перших ста членів арифметичної прогресії $(a_{n})$ , якщо:
а) $- 50, - 49, - 48, \dots$ ;
б) $2, 7, 12, 17, \dots$ .

Розв’язання

Для пункту а): Перший член $a_{1} = - 50$ , другий $a_{2} = - 49$ . Різниця $d = - 49 - (- 50) = 1$ . Знайдемо 100-й член: $a_{100} = - 50 + (100 - 1) (1) = - 50 + 99 = 49$ .
Обчислимо суму за формулою: $S_{100} = \frac{100 ( - 50 + 49 )}{2} = \frac{100 ( - 1 )}{2} = - 50$ .
Для пункту б): Перший член $a_{1} = 2$ , другий $a_{2} = 7$ . Різниця $d = 7 - 2 = 5$ . Знайдемо 100-й член: $a_{100} = 2 + (100 - 1) (5) = 2 + 49 \cdot 5 = 2 + 245 = 247$ .
Обчислимо суму за формулою: $S_{100} = \frac{100 ( 2 + 247 )}{2} = \frac{100 \cdot 249}{2} = 50 \cdot 249 = 12450$ .

Відповідь:

а) $S_{100} = - 50$ ; б) $S_{100} = 12450$ .

Завдання 846

Знаходження першого члена та різниці за даними про член і суму

Знайти перший член $a_{1}$ і різницю $d$ арифметичної прогресії $(a_{n})$ , якщо:
а) $a_{10} = 95$ , $S_{10} = 500$ ;
б) $a_{15} = 47$ , $S_{15} = 1500$ .

Розв’язання

Для пункту а): Маємо $S_{10} = 500$ і $a_{10} = 95$ . За формулою суми: $500 = \frac{10 ( a _{1} + 95 )}{2}$ . Спростимо: $500 = 5 (a_{1} + 95) \Rightarrow 100 = a_{1} + 95 \Rightarrow a_{1} = 5$ . Тепер знайдемо різницю: $d = \frac{a _{10} - a _{1}}{10 - 1} = \frac{95 - 5}{9} = \frac{90}{9} = 10$ .
Для пункту б): Маємо $S_{15} = 1500$ і $a_{15} = 47$ . За формулою суми: $1500 = \frac{15 ( a _{1} + 47 )}{2}$ . Спростимо: $300 = a_{1} + 47 \Rightarrow a_{1} = 253$ . Тепер знайдемо різницю: $d = \frac{a _{15} - a _{1}}{15 - 1} = \frac{47 - 253}{14} = \frac{- 206}{14} = - \frac{103}{7}$ .

Відповідь:

а) $a_{1} = 5, d = 10$ ; б) $a_{1} = 253, d = - \frac{103}{7}$ .

Завдання 847

Знаходження першого члена і різниці за

a_{n}

та

S_{n}

Дано арифметичну прогресію $(a_{n})$ , де $a_{7} = 15$ , сума семи перших членів $S_{7} = 63$ . Знайти перший член $a_{1}$ і різницю $d$ .

Розв’язання

Знайдемо перший член $a_{1}$ за формулою суми: $S_{7} = \frac{7}{2} (a_{1} + a_{7}) \Rightarrow 63 = 3, 5 (a_{1} + 15)$ . Поділимо на 3,5: $a_{1} + 15 = 18$ , звідки $a_{1} = 3$ .
Знайдемо різницю $d$ за формулою $n$ -го члена для $n = 7$ : $a_{7} = a_{1} + (7 - 1) d \Rightarrow 15 = 3 + 6 d$ . Віднімемо 3: $12 = 6 d$ , звідки $d = 2$ .

Відповідь:

$a_{1} = 3, d = 2$

Завдання 848

Стародавня арабська задача (знаходження члена та суми)

Дано арифметичну прогресію з першими членами $3, 7, 11, 15, \dots$ . Знайти 20-й член ( $a_{20}$ ) і суму двадцяти перших членів ( $S_{20}$ ).

Розв’язання

Знайдемо різницю прогресії: $d = 7 - 3 = 4$ . Перший член $a_{1} = 3$ .
Знайдемо 20-й член: $a_{20} = 3 + (20 - 1) \cdot 4 = 3 + 19 \cdot 4 = 3 + 76 = 79$ .
Знайдемо суму перших двадцяти членів: $S_{20} = \frac{20}{2} (3 + 79) = 10 \cdot 82 = 820$ .

Відповідь:

$a_{20} = 79, S_{20} = 820$

Завдання 849

Сума шістдесяти перших натуральних чисел

Знайти суму шістдесяти перших натуральних чисел ( $1 + 2 + \dots + 60$ ).

Розв’язання

Визначимо параметри прогресії: $a_{1} = 1$ , $n = 60$ . Останній член $a_{60} = 60$ .
Обчислимо суму за формулою: $S_{60} = \frac{60}{2} (1 + 60) = 30 \cdot 61$ .
Виконаємо множення: $30 \cdot 61 = 1830$ .

Відповідь:

$S_{60} = 1830$

Завдання 850

Сума чисел від 1 до 40 за методом Гаусса

Учитель просить знайти суму всіх натуральних чисел від 1 до 40. Карл Гаусс виконав це за хвилину. Поясни його міркування та знайди відповідь усно.

Розв’язання

Перший член прогресії $a_{1} = 1$ , останній $a_{40} = 40$ , кількість членів $n = 40$ .
Знайдемо суму першого і останнього числа: $1 + 40 = 41$ . Оскільки в прогресії 40 чисел, таких пар буде $\frac{40}{2} = 20$ .
Помножимо кількість пар на їхню суму: $20 \cdot 41 = 820$ .

Відповідь:

Сума дорівнює 820.

Завдання 851

Сума перших ста натуральних чисел

Знайти суму всіх натуральних чисел від 1 до 100.

Розв’язання

Перший член $a_{1} = 1$ , останній $a_{100} = 100$ . Кількість членів $n = 100$ .
Підставимо значення у формулу суми: $S_{100} = \frac{100 ( 1 + 100 )}{2}$ .
Обчислимо вираз у дужках і поділимо на 2: $S_{100} = 50 \cdot 101 = 5050$ .

Відповідь:

Сума дорівнює 5050.

Завдання 852

Сума перших ста непарних чисел

Знайти суму перших ста непарних натуральних чисел (1, 3, 5, ..., ?).

Розв’язання

Знайдемо останній член прогресії для $n = 100$ : $a_{100} = 2 \cdot 100 - 1 = 199$ .
Перший член $a_{1} = 1$ , кількість членів $n = 100$ .
Обчислимо суму за формулою: $S_{100} = \frac{100 ( 1 + 199 )}{2} = 50 \cdot 200 = 10000$ .

Відповідь:

Сума дорівнює 10000.

Завдання 853

Сума довжин смуг ресора

Ресора має 10 сталевих смуг. Довжина першої (верхньої) — $105 см$ . Кожна наступна на $9 см$ коротша за попередню. Знайти суму довжин усіх смуг.

Розв’язання

Знайдемо довжину 10-ї смуги за формулою $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ : $a_{10} = 105 + (10 - 1) \cdot (- 9) = 105 - 81 = 24 (см)$ .
Знайдемо суму довжин усіх смуг за формулою $S_{10} = \frac{10 ( a _{1} + a _{10} )}{2}$ : $S_{10} = \frac{10 ( 105 + 24 )}{2} = 5 \cdot 129 = 645 (см)$ .

Відповідь:

Сума довжин усіх смуг дорівнює $645 см$ .

Завдання 854

Тривалість планки на 16-й тиждень

Ганна починає планку з $10$ секунд. Кожного наступного тижня тривалість збільшується на $5$ секунд. Знайти тривалість на 16-й тиждень.

Розв’язання

Запишемо формулу n-го члена: $a_{n} = 10 + (n - 1) \cdot 5$ .
Підставимо $n = 16$ : $a_{16} = 10 + (16 - 1) \cdot 5 = 10 + 15 \cdot 5 = 10 + 75 = 85 (секунд)$ .

Відповідь:

На 16-й тиждень тривалість планки має бути $85$ секунд.