ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 169

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 820–837 · 18 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 16. Арифметична прогресія

Завдання 820

Знаходження членів прогресії

Дано арифметичну прогресію з першим членом $a_{1} = 9$ і різницею $d = 4$ . Потрібно знайти значення п'ятнадцятого ( $a_{15}$ ) та тридцять другого ( $a_{32}$ ) членів.

Розв’язання

Знайдемо $a_{15}$ : $a_{15} = 9 + (15 - 1) \cdot 4 = 9 + 14 \cdot 4 = 9 + 56 = 65$ .
Знайдемо $a_{32}$ : $a_{32} = 9 + (32 - 1) \cdot 4 = 9 + 31 \cdot 4 = 9 + 124 = 133$ .

Відповідь:

$a_{15} = 65$ , $a_{32} = 133$ .

Завдання 821

Знаходження різниці та членів прогресії

Дано арифметичну прогресію, де другий член $a_{2} = 14$ , а третій член $a_{3} = 25$ . Потрібно знайти різницю $d$ , десятий член $a_{10}$ та двадцятий член $a_{20}$ .

Розв’язання

Знайдемо різницю: $d = a_{3} - a_{2} = 25 - 14 = 11$ .
Знайдемо перший член: $a_{1} = a_{2} - d = 14 - 11 = 3$ .
Знайдемо $a_{10}$ : $a_{10} = 3 + (10 - 1) \cdot 11 = 3 + 9 \cdot 11 = 3 + 99 = 102$ .
Знайдемо $a_{20}$ : $a_{20} = 3 + (20 - 1) \cdot 11 = 3 + 19 \cdot 11 = 3 + 209 = 212$ .

Відповідь:

$d = 11$ , $a_{10} = 102$ , $a_{20} = 212$ .

Завдання 822

Визначення різниці та десятого члена за послідовністю

Для кожної з наведених послідовностей потрібно знайти різницю $d$ і десятій член $a_{10}$ . Послідовності: а) $2, 7, 12, \dots$ ; б) $3, 1, - 1, \dots$ ; в) $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \dots$ .

Розв’язання

а) Різниця $d = 7 - 2 = 5$ . Перший член $a_{1} = 2$ . Знайдемо $a_{10}$ : $a_{10} = 2 + (10 - 1) \cdot 5 = 2 + 45 = 47$ .
б) Різниця $d = 1 - 3 = - 2$ . Перший член $a_{1} = 3$ . Знайдемо $a_{10}$ : $a_{10} = 3 + (10 - 1) \cdot (- 2) = 3 - 18 = - 15$ .
в) Перевіримо різницю: $\frac{1}{3} - \frac{1}{2} = - \frac{1}{6}$ ; наступна різниця $\frac{1}{6} - \frac{1}{3} = - \frac{1}{6}$ . Різниця стала, $d = - \frac{1}{6}$ . Перший член $a_{1} = \frac{1}{2}$ . Знайдемо $a_{10}$ : $a_{10} = \frac{1}{2} + (10 - 1) \cdot (- \frac{1}{6}) = \frac{1}{2} - \frac{9}{6} = \frac{3}{6} - \frac{9}{6} = - \frac{6}{6} = - 1$ .

Відповідь:

а) $d = 5, a_{10} = 47$ ; б) $d = - 2, a_{10} = - 15$ ; в) $d = - \frac{1}{6}, a_{10} = - 1$ .

Завдання 823

Знайти різницю та десятий член прогресії

Дано послідовності, треба знайти $d$ та $a_{10}$ :
а) $- 8, - 5, - 2, \dots$ ;
б) $10, 8, 6, \dots$ ;
в) $1, 1 \frac{1}{6}, 1 \frac{1}{3}, \dots$ .

Розв’язання

а) Знайдемо $d$ : $- 5 - (- 8) = 3$ . Перший член $a_{1} = - 8$ . Обчислимо $a_{10}$ : $a_{10} = - 8 + (10 - 1) \cdot 3 = - 8 + 27 = 19$ .
б) Знайдемо $d$ : $8 - 10 = - 2$ . Перший член $a_{1} = 10$ . Обчислимо $a_{10}$ : $a_{10} = 10 + (10 - 1) \cdot (- 2) = 10 - 18 = - 8$ .
в) Запишемо числа як неправильні дроби: $1, \frac{7}{6}, \frac{8}{6}, \dots$ . Знайдемо $d$ : $\frac{7}{6} - 1 = \frac{1}{6}$ . Перший член $a_{1} = 1$ . Обчислимо $a_{10}$ : $a_{10} = 1 + (10 - 1) \cdot \frac{1}{6} = 1 + \frac{9}{6} = 1 + 1 \frac{1}{2} = 2 \frac{1}{2}$ .

Відповідь:

а) $d = 3, a_{10} = 19$ ; б) $d = - 2, a_{10} = - 8$ ; в) $d = \frac{1}{6}, a_{10} = 2 \frac{1}{2}$ .

Завдання 824

Гра з арифметичною прогресією

Перший гравець називає третій член ( $a_{3}$ ), другий — п'ятий ( $a_{5}$ ), третій — четвертий ( $a_{4}$ ). Потім треба знайти ці числа, щоб продовжити гру.

Розв’язання

Припустимо умову гри та призначимо числа для розв'язання (оскільки конкретні числа не задані, розглянемо загальний випадок або приклад). Нехай $a_{3} = 7$ , $a_{5} = 11$ .
Знайдемо різницю: $a_{5} - a_{3} = 2 d \Rightarrow 11 - 7 = 4 \Rightarrow d = 2$ .
Знайдемо перший член: $a_{3} = a_{1} + 2 d \Rightarrow 7 = a_{1} + 4 \Rightarrow a_{1} = 3$ .
Перевіримо четвертий член: $a_{4} = 3 + (4 - 1) \cdot 2 = 9$ . Відповідь для цього прикладу: послідовність $3, 5, 7, 9, 11, \dots$ .

Відповідь:

Гра передбачає побудову послідовності на основі заданих членів. Приклад розв'язання: якщо $a_{3} = 7$ і $a_{5} = 11$ , то $d = 2, a_{1} = 3, a_{4} = 9$ .

Завдання 825

Знайти різницю арифметичної прогресії (англійською)

Find the common difference of an arithmetic progression $(a_{n})$ , if:
а) $a_{1} = 5, a_{7} = 95$ ;
б) $a_{1} = 2, 3, a_{5} = 1, 5$ .

Розв’язання

а) Маємо $a_{1} = 5, a_{7} = 95$ . Різниця між членами: $95 - 5 = 90$ . Кількість кроків: $7 - 1 = 6$ . Знаходимо $d$ : $d = \frac{90}{6} = 15$ .
б) Маємо $a_{1} = 2, 3, a_{5} = 1, 5$ . Різниця між членами: $1, 5 - 2, 3 = - 0, 8$ . Кількість кроків: $5 - 1 = 4$ . Знаходимо $d$ : $d = \frac{- 0 , 8}{4} = - 0, 2$ .

Відповідь:

а) $d = 15$ ; б) $d = - 0, 2$ .

Завдання 826

Знаходження різниці прогресії

а) $a_{1} = - 15$ , $a_{10} = - 24$ ; б) $a_{1} = - 17$ , $a_{7} = 97$ .

Розв’язання

а) Підставимо дані у формулу: $- 24 = - 15 + (10 - 1) d$ . Спростимо: $- 9 = 9 d$ , звідки $d = - 1$ .
б) Аналогічно: $97 = - 17 + (7 - 1) d$ . Отримаємо $114 = 6 d$ , звідки $d = 19$ .

Відповідь:

а) $d = - 1$ ; б) $d = 19$ .

Завдання 827

Знаходження першого члена прогресії

а) $a_{11} = 25$ , $d = 2$ ; б) $a_{36} = 5$ , $d = - 1$ .

Розв’язання

а) $a_{1} = 25 - (11 - 1) \cdot 2 = 25 - 20 = 5$ .
б) $a_{1} = 5 - (36 - 1) \cdot (- 1) = 5 + 35 = 40$ .

Відповідь:

а) $a_{1} = 5$ ; б) $a_{1} = 40$ .

Завдання 828

Знаходження першого члена прогресії

а) $a_{8} = 9$ , $d = 0, 3$ ; б) $a_{21} = - 50$ , $d = 3$ .

Розв’язання

а) $a_{1} = 9 - 0, 3 \cdot (8 - 1) = 9 - 2, 1 = 6, 9$ .
б) $a_{1} = - 50 - 3 \cdot (21 - 1) = - 50 - 60 = - 110$ .

Відповідь:

а) $a_{1} = 6, 9$ ; б) $a_{1} = - 110$ .

Завдання 829

Знаходження членів прогресії за двома сусідніми

Дано арифметичну прогресію, де $a_{17} = 53$ і $a_{18} = 44$ . Потрібно знайти перший член $a_{1}$ , різницю $d$ , четвертий член $a_{4}$ та одинадцятий член $a_{11}$ .

Розв’язання

Знайдемо різницю прогресії: $d = a_{18} - a_{17} = 44 - 53 = - 9$ .
Знайдемо перший член, використовуючи $a_{17}$ : $a_{1} = a_{17} - (17 - 1) d = 53 - 16 \cdot (- 9) = 53 + 144 = 197$ .
Знайдемо четвертий член: $a_{4} = a_{1} + (4 - 1) d = 197 + 3 \cdot (- 9) = 197 - 27 = 170$ .
Знайдемо одинадцятий член: $a_{11} = a_{1} + (11 - 1) d = 197 + 10 \cdot (- 9) = 197 - 90 = 107$ .

Відповідь:

$a_{1} = 197$ , $d = - 9$ , $a_{4} = 170$ , $a_{11} = 107$ .

Завдання 830

Знаходження членів прогресії за двома сусідніми

Дано арифметичну прогресію, де $a_{10} = 5$ і $a_{11} = - 4$ . Потрібно знайти перший член $a_{1}$ , різницю $d$ , п'ятий член $a_{5}$ та двадцять перший член $a_{21}$ .

Розв’язання

Знайдемо різницю прогресії: $d = a_{11} - a_{10} = - 4 - 5 = - 9$ .
Знайдемо перший член, використовуючи $a_{10}$ : $a_{1} = a_{10} - (10 - 1) d = 5 - 9 \cdot (- 9) = 5 + 81 = 86$ .
Знайдемо п'ятий член: $a_{5} = a_{1} + (5 - 1) d = 86 + 4 \cdot (- 9) = 86 - 36 = 50$ .
Знайдемо двадцять перший член: $a_{21} = a_{1} + (21 - 1) d = 86 + 20 \cdot (- 9) = 86 - 180 = - 94$ .

Відповідь:

$a_{1} = 86$ , $d = - 9$ , $a_{5} = 50$ , $a_{21} = - 94$ .

Завдання 831

Знаходження пропущеного члена прогресії

Дано арифметичну прогресію, де $a_{25} = 5$ і $a_{27} = 4$ . Потрібно знайти двадцять шостий член $a_{26}$ .

Розв’язання

Знайдемо різницю між відомими членами: $a_{27} - a_{25} = 4 - 5 = - 1$ . Це рівно два кроки (одна різниця).
Або використаємо властивість середнього члена: $a_{26} = \frac{a _{25} + a _{27}}{2}$ .
Обчислимо значення: $a_{26} = \frac{5 + 4}{2} = \frac{9}{2} = 4, 5$ .

Відповідь:

$a_{26} = 4, 5$ .

Завдання 832

Знаходження пропущеного члена прогресії

Дано арифметичну прогресію, де четвертий член $a_{4} = 2$ , шостий член $a_{6} = 3$ . Потрібно знайти п'ятий член $a_{5}$ .

Розв’язання

Знайдемо різницю прогресії $d$ : $d = a_{6} - a_{4} = 3 - 2 = 1$ .
Знайдемо п'ятий член, додавши різницю до четвертого: $a_{5} = a_{4} + d = 2 + 1 = 3$ .

Відповідь:

$a_{5} = 3$

Завдання 833

Розв'язання задачі про кількість місць у театрі

Кількість місць у кожному наступному ряду збільшується на однакову величину. Третій ряд має 22 місця, шостий — 31 місце. Потрібно знайти кількість місць у двадцятому ряді.

Розв’язання

Знайдемо різницю прогресії $d$ . Відстань між індексами: $6 - 3 = 3$ кроки. Зміна кількості місць: $31 - 22 = 9$ . Отже, $d = \frac{9}{3} = 3$ .
Знайдемо кількість місць у двадцятому ряду ( $n = 20$ ): $a_{20} = a_{3} + (20 - 3) d = 22 + 17 \cdot 3$ .
Обчислимо значення: $22 + 51 = 73$ .

Відповідь:

73 місця

Завдання 834

Розв'язання задачі про закупівлю книжок

Кількість куплених книжок щомісяця збільшується на однакову кількість. У квітні (4-й місяць) купили 33 книжки, у липні (7-й місяць) — 51 книжку. Потрібно знайти кількість книжок для закупівлі в грудні (12-й місяць).

Розв’язання

Знайдемо різницю прогресії $d$ : проміжок часу між квітнем і липнем — 3 місяці ( $7 - 4 = 3$ ). Зміна кількості книг: $51 - 33 = 18$ . Тоді $d = \frac{18}{3} = 6$ .
Визначимо проміжок часу від липня до грудня: $12 - 7 = 5$ місяців.
Обчислимо кількість книжок у грудні: $a_{12} = a_{7} + 5 \cdot d = 51 + 5 \cdot 6 = 51 + 30 = 81$ .

Відповідь:

81 книжку

Завдання 835

Знаходження десятого члена прогресії

Дано арифметичну прогресію $(a_{n})$ , де $a_{1} = - 4$ , $a_{5} = a_{4} + 3$ . Потрібно знайти значення $a_{10}$ .

Розв’язання

Запишемо вирази для $a_{5}$ і $a_{4}$ : $a_{5} = a_{1} + 4 d$ та $a_{4} = a_{1} + 3 d$ .
Підставимо ці вирази в умову рівності $a_{5} = a_{4} + 3$ : $(a_{1} + 4 d) = (a_{1} + 3 d) + 3$ .
Спростимо рівняння: $a_{1} + 4 d = a_{1} + 3 d + 3 \Rightarrow d = 3$ .
Знайдемо $a_{10}$ , підставивши $a_{1} = - 4$ та $d = 3$ : $a_{10} = - 4 + (10 - 1) \cdot 3 = - 4 + 27 = 23$ .

Відповідь:

Д 23

Завдання 836

Перевірка наявності числа в прогресії

Чи є число 254 членом арифметичної прогресії за двома варіантами початкових членів: а) $15, 23, 31, \dots$ ; б) $8, 7, 6, 8, \dots$ .

Розв’язання

Варіант а): $a_{1} = 15$ , $d = 23 - 15 = 8$ . Перевіряємо рівняння $254 = 15 + (n - 1) \cdot 8$ . Спростимо: $239 = (n - 1) \cdot 8$ . Число 239 не ділиться на 8 ( $239/8 = 29, 875$ ), отже, такого натурального $n$ немає.
Варіант б): Послідовність $8, 7, 6, 8, \dots$ . Різниця між першими двома членами $- 1$ , між наступними $- 1$ , але між третім і четвертим $+ 2$ . Це не арифметична прогресія (різниця змінюється).

Відповідь:

а) Ні; б) Ні (це не арифметична прогресія)

Завдання 837

Перевірка наявності числа в прогресії

Чи є число 212 членом арифметичної прогресії за двома варіантами початкових членів: а) $3, 14, 25, 36, \dots$ ; б) $275, 269, 263, 257, \dots$ .

Розв’язання

Варіант а): $a_{1} = 3$ , $d = 14 - 3 = 11$ . Перевіряємо рівняння $212 = 3 + (n - 1) \cdot 11$ . Спростимо: $209 = (n - 1) \cdot 11$ . Ділимо на 11: $n - 1 = 19$ , звідси $n = 20$ . Оскільки $n$ — натуральне число, то так.
Варіант б): $a_{1} = 275$ , $d = 269 - 275 = - 6$ . Перевіряємо рівняння $212 = 275 + (n - 1) \cdot (- 6)$ . Спростимо: $(n - 1) \cdot (- 6) = 212 - 275 = - 63$ . Ділимо на -6: $n - 1 = 10, 5$ , звідси $n = 11, 5$ . Це не ціле число.

Відповідь:

а) Так; б) Ні