ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 168

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 811–819 · 9 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 16. Арифметична прогресія

Завдання 811

Знаходження різниці прогресії

Дано послідовності чисел, треба знайти їхню різницю $d$ .
а) $3, 5, 7, \dots$ ; б) $12, 10, 8, \dots$ ; в) $- 2, 1, 4, \dots$ ; г) $- 7, - 9, - 11, \dots$ .

Розв’язання

а) $5 - 3 = 2$ .
б) $10 - 12 = - 2$ .
в) $1 - (- 2) = 3$ .
г) $- 9 - (- 7) = - 2$ .

Відповідь:

а) $d = 2$ ; б) $d = - 2$ ; в) $d = 3$ ; г) $d = - 2$ .

Завдання 812

Знаходження першого члена прогресії

Різниця прогресії $d = 2$ , другий член $a_{2} = - 3$ . Знайти $a_{1}$ .

Розв’язання

Записуємо формулу зв'язку: $a_{2} = a_{1} + d$ .
Підставляємо відомі значення: $- 3 = a_{1} + 2$ .
Знаходимо $a_{1}$ : $a_{1} = - 3 - 2 = - 5$ .

Відповідь:

В $- 5$ .

Завдання 813

Перевірка на арифметичну прогресію

Дано дві послідовності чисел, треба визначити, чи є вони арифметичними прогресіями.
а) $1, 3, 5, 8, 11, 14, \dots$ ; б) $0, - 1, - 3, - 5, - 8, \dots$ .

Розв’язання

а) Знайдемо різниці: $3 - 1 = 2$ , $5 - 3 = 2$ , але $8 - 5 = 3$ . Оскільки різниця змінилася ( $2 \neq = 3$ ), це не арифметична прогресія.
б) Знайдемо різниці: $- 1 - 0 = - 1$ , $- 3 - (- 1) = - 2$ , $- 5 - (- 3) = - 2$ . Оскільки $- 1 \neq = - 2$ , різниця не стала, отже, це не арифметична прогресія.

Відповідь:

ні в одному випадку послідовність не є арифметичною прогресією.

Завдання 814

Перевірка арифметичних прогресій

Дано чотири послідовності чисел (а, б, в, г). Потрібно визначити, які з них є арифметичними прогресіями, і для цих послідовностей знайти перший член та різницю.

Розв’язання

Послідовність а) $0; 3; 6; \dots$ : Різниця $d = 3 - 0 = 3$ . Перший член $a_{1} = 0$ . Це прогресія ( $d = 3$ ).
Послідовність б) $- 2; - 4; - 6; \dots$ : Різниця $d = - 4 - (- 2) = - 2$ . Перший член $a_{1} = - 2$ . Це прогресія ( $d = - 2$ ).
Послідовність в) $3; 3; 3; \dots$ : Різниця $d = 3 - 3 = 0$ . Перший член $a_{1} = 3$ . Це прогресія ( $d = 0$ ).
Послідовність г) $5; 10; 20; \dots$ : Різниця між першими двома $10 - 5 = 5$ , між наступними $20 - 10 = 10$ . Оскільки різниці не однакові, це не арифметична прогресія.

Відповідь:

Арифметичними є послідовності а) ( $a_{1} = 0, d = 3$ ), б) ( $a_{1} = - 2, d = - 2$ ), в) ( $a_{1} = 3, d = 0$ ). Послідовність г) не є арифметичною прогресією.

Завдання 815

Знаходження члена прогресії за початком

Дано арифметичну прогресію з членами $3, 7, 11, \dots$ . Потрібно знайти шостий член ( $a_{6}$ ).

Розв’язання

Перший член прогресії $a_{1} = 3$ .
Різниця між сусідніми членами $d = 7 - 3 = 4$ .
Підставимо значення в формулу для шостого члена: $a_{6} = 3 + (6 - 1) \cdot 4 = 3 + 5 \cdot 4 = 3 + 20 = 23$ .

Відповідь:

23.

Завдання 816

Вибір формули прогресії за параметрами

Дано, що арифметична прогресія має перший член $a_{1} = 5$ та різницю $d = 4$ . Потрібно обрати правильну загальну формулу для цього ряду.

Розв’язання

Формула загального члена: $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ .
Підставимо $a_{1} = 5$ та $d = 4$ : $a_{n} = 5 + (n - 1) \cdot 4$ .
Розкриємо дужки: $a_{n} = 5 + 4 n - 4 = 4 n + 1$ .
Порівняємо отриманий вираз з варіантами відповідей. Варіант Б має вигляд $5 + 4 (n - 1)$ , що є безпосереднім застосуванням формули. Варіант В ( $a_{n} = 4 + 5 n$ ) відповідає прогресії з $a_{1} = 4, d = 5$ .

Відповідь:

Б.

Завдання 817

Побудова початкових членів прогресії

Записати перші п'ять членів арифметичної прогресії за заданими значеннями $a_{1}$ та $d$ :
а) $a_{1} = 7, d = 2$ ;
б) $a_{1} = 0, 5, d = - 10$ ;
в) $a_{1} = - \frac{1}{4}, d = \frac{1}{4}$ ;
г) $a_{1} = 9, d = 0$ .

Розв’язання

Для пункту а): $a_{1} = 7$ ; $a_{2} = 7 + 2 = 9$ ; $a_{3} = 9 + 2 = 11$ ; $a_{4} = 11 + 2 = 13$ ; $a_{5} = 13 + 2 = 15$ .
Для пункту б): $a_{1} = 0, 5$ ; $a_{2} = 0, 5 - 10 = - 9, 5$ ; $a_{3} = - 9, 5 - 10 = - 19, 5$ ; $a_{4} = - 19, 5 - 10 = - 29, 5$ ; $a_{5} = - 29, 5 - 10 = - 39, 5$ .
Для пункту в): $a_{1} = - \frac{1}{4}$ ; $a_{2} = - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 0$ ; $a_{3} = 0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$ ; $a_{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ ; $a_{5} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ .
Для пункту г): $d = 0$ , отже, всі члени дорівнюють першому: $9, 9, 9, 9, 9$ .

Відповідь:

а) $7; 9; 11; 13; 15$ ; б) $0, 5; - 9, 5; - 19, 5; - 29, 5; - 39, 5$ ; в) $- \frac{1}{4}; 0; \frac{1}{4}; \frac{1}{2}; \frac{3}{4}$ ; г) $9; 9; 9; 9; 9$ .

Завдання 818

Побудова перших семи членів прогресії

Записати сім перших членів арифметичної прогресії за заданими значеннями $a_{1}$ та $d$ :
а) $a_{1} = 2, d = 5$ ;
б) $a_{1} = - 3, d = 4$ ;
в) $a_{1} = 0, d = 7$ ;
г) $a_{1} = 4, d = - 1$ .

Розв’язання

Для пункту а): $2; 7; 12; 17; 22; 27; 32$ .
Для пункту б): $- 3; 1; 5; 9; 13; 17; 21$ .
Для пункту в): $0; 7; 14; 21; 28; 35; 42$ .
Для пункту г): $4; 3; 2; 1; 0; - 1; - 2$ .

Відповідь:

а) $2; 7; 12; 17; 22; 27; 32$ ; б) $- 3; 1; 5; 9; 13; 17; 21$ ; в) $0; 7; 14; 21; 28; 35; 42$ ; г) $4; 3; 2; 1; 0; - 1; - 2$ .

Завдання 819

Знаходження конкретних членів прогресії

У арифметичній прогресії $a_{1} = 5, d = - 4$ . Знайти значення $a_{7}$ та $a_{20}$ .

Розв’язання

Знаходимо $a_{7}$ : підставляємо $a_{1} = 5, d = - 4, n = 7$ у формулу: $a_{7} = 5 + (7 - 1) \cdot (- 4) = 5 + 6 \cdot (- 4) = 5 - 24 = - 19$ .
Знаходимо $a_{20}$ : підставляємо $a_{1} = 5, d = - 4, n = 20$ у формулу: $a_{20} = 5 + (20 - 1) \cdot (- 4) = 5 + 19 \cdot (- 4) = 5 - 76 = - 71$ .

Відповідь:

$a_{7} = - 19, a_{20} = - 71$ .