Завдання 978, § 17. Геометрична прогресія Geometric Progression — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 978

Старовинна задача про овець

Селянин продав 20 овець за умову: перша вівця коштує 1 копійка, друга — 2, третя — 4, і так далі (кожна наступна вдвічі дорожча). Потрібно знайти загальну суму виплати.

Розв’язання

Перевіримо умову на геометричну прогресію: $\frac{b _{2}}{b _{1}} = \frac{2}{1} = 2$ , отже, знаменник $q = 2$ . Перший член $b_{1} = 1$ копійки. Кількість членів $n = 20$ .
Підставимо значення в формулу суми: $S_{20} = \frac{1 \cdot ( 2 ^{20} - 1 )}{2 - 1} = 2^{20} - 1$ .
Обчислимо значення $2^{20}$ : $2^{10} = 1024$ , тому $2^{20} = 1024 \cdot 1024 = 1048576$ . Віднімемо одиницю: $1048576 - 1 = 1048575$ копійок.

Відповідь:

Покупець заплатив 1 048 575 копійок (що дорівнює 10 485 рублям 75 копейкам).

Розбір зрозумілий?

§ 17. Геометрична прогресія Geometric Progression Завдання 978 с. 184

Старовинна задача про овець

Умова

Що треба знати

Це задача про обчислення суми скінченної геометричної прогресії. Сума $S_{n}$ перших $n$ членів прогресії з першим членом $b_{1}$ і знаменником $q$ (де $q \neq = 1$ ) обчислюється за формулою: $S_{n} = \frac{b _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Визнач перший член прогресії та знаменник. Підстав ці значення в формулу суми, де кількість членів $n = 20$ , і обчислить результат.

Розв’язання крок за кроком

Перевіримо умову на геометричну прогресію: $\frac{b _{2}}{b _{1}} = \frac{2}{1} = 2$ , отже, знаменник $q = 2$ . Перший член $b_{1} = 1$ копійки. Кількість членів $n = 20$ .
Підставимо значення в формулу суми: $S_{20} = \frac{1 \cdot ( 2 ^{20} - 1 )}{2 - 1} = 2^{20} - 1$ .
Обчислимо значення $2^{20}$ : $2^{10} = 1024$ , тому $2^{20} = 1024 \cdot 1024 = 1048576$ . Віднімемо одиницю: $1048576 - 1 = 1048575$ копійок.

Відповідь:

Покупець заплатив 1 048 575 копійок (що дорівнює 10 485 рублям 75 копейкам).

Розбір зрозумілий?