Завдання 977, § 17. Геометрична прогресія Geometric Progression — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 977

Добуток членів прогресії

Виведи формулу для обчислення добутку $n$ перших членів геометричної прогресії.

Розв’язання

Позначимо добуток як $P_{n} = b_{1} \cdot b_{2} \cdot \dots \cdot b_{n - 1} \cdot b_{n}$ .
Замінимо кожен член через перший та знаменник: $b_{k} = b_{1} \cdot q^{k - 1}$ . Тоді $P_{n} = b_{1}^{n} \cdot (q^{0} \cdot q^{1} \cdot \dots \cdot q^{n - 1})$ .
Сума показників степенів знаменника: $0 + 1 + \dots + (n - 1) = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ . Отже, $P_{n} = b_{1}^{n} \cdot q^{\frac{n ( n - 1 )}{2}}$ .

Відповідь:

Формула для добутку: $P_{n} = b_{1}^{n} \cdot q^{\frac{n ( n - 1 )}{2}}$ .

Розбір зрозумілий?

§ 17. Геометрична прогресія Geometric Progression Завдання 977 с. 184

Добуток членів прогресії

Умова

Виведи формулу для обчислення добутку $n$ перших членів геометричної прогресії.

Що треба знати

Добуток членів симетричних відносно центру прогресії ( $b_{k} \cdot b_{n - k + 1}$ ) дорівнює добутку першого і останнього члена, оскільки $b_{k} = b_{1} \cdot q^{k - 1}$ та $b_{n - k + 1} = b_{1} \cdot q^{n - k}$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Запиши добуток як $P_{n} = b_{1} \cdot b_{2} \cdot \dots \cdot b_{n}$ . Заміни кожен член через перший та знаменник, а потім згрупуй множники.

Розв’язання крок за кроком

Позначимо добуток як $P_{n} = b_{1} \cdot b_{2} \cdot \dots \cdot b_{n - 1} \cdot b_{n}$ .
Замінимо кожен член через перший та знаменник: $b_{k} = b_{1} \cdot q^{k - 1}$ . Тоді $P_{n} = b_{1}^{n} \cdot (q^{0} \cdot q^{1} \cdot \dots \cdot q^{n - 1})$ .
Сума показників степенів знаменника: $0 + 1 + \dots + (n - 1) = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ . Отже, $P_{n} = b_{1}^{n} \cdot q^{\frac{n ( n - 1 )}{2}}$ .

Відповідь:

Формула для добутку: $P_{n} = b_{1}^{n} \cdot q^{\frac{n ( n - 1 )}{2}}$ .

Розбір зрозумілий?