Завдання 976, § 17. Геометрична прогресія Geometric Progression — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 976

Радіуси кіл у гострому куті

У гострий кут вписано $n$ кіл, які дотикаються одне до одного. Доведи, що довжини їх радіусів утворюють геометричну прогресію. Від чого залежить її знаменник?

Розв’язання

Нехай кут між сторонами гострого кута дорівнює $α$ . Розглянемо два сусідні кола з радіусами $r_{k}$ та $r_{k + 1}$ .
Відстань від вершини кута до точки дотику першого кола дорівнює $d_{1} = r_{k} / sin (α /2)$ . Відстань до точки дотику другого кола — $d_{2} = d_{1} + 2 r_{k}$ (сума діаметра та відстані).
За властивістю подібності трикутників, що утворилися при розгляді послідовних кіл, відношення радіусів сусідніх кіл є постійним: $\frac{r _{k + 1}}{r _{k}} = const$ .

Відповідь:

Радіуси утворюють геометричну прогресію. Знаменник $q$ залежить від половини гострого кута ( $α /2$ ).

Розбір зрозумілий?

§ 17. Геометрична прогресія Geometric Progression Завдання 976 с. 184

Радіуси кіл у гострому куті

Умова

Що треба знати

Оскільки всі кути рівні (кут між сторонами та дотичними), трикутники, утворені центрами кіл і точками дотику, подібні. У подібних трикутниках відповідні відношення сторін рівні.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Розглянь два сусідні кола з радіусами $r_{k}$ та $r_{k + 1}$ . Побудуй прямокутний трикутник, використовуючи центри кіл і точку дотику двох прямих.

Розв’язання крок за кроком

Нехай кут між сторонами гострого кута дорівнює $α$ . Розглянемо два сусідні кола з радіусами $r_{k}$ та $r_{k + 1}$ .
Відстань від вершини кута до точки дотику першого кола дорівнює $d_{1} = r_{k} / sin (α /2)$ . Відстань до точки дотику другого кола — $d_{2} = d_{1} + 2 r_{k}$ (сума діаметра та відстані).
За властивістю подібності трикутників, що утворилися при розгляді послідовних кіл, відношення радіусів сусідніх кіл є постійним: $\frac{r _{k + 1}}{r _{k}} = const$ .

Відповідь:

Радіуси утворюють геометричну прогресію. Знаменник $q$ залежить від половини гострого кута ( $α /2$ ).

Розбір зрозумілий?