Завдання 975, § 17. Геометрична прогресія Geometric Progression — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 975

Прямокутний трикутник і прогресія

Чи можуть довжини сторін прямокутного трикутника утворювати геометричну прогресію?

Розв’язання

Нехай сторони трикутника — $a$ , $b$ , $c$ (де $c$ — гіпотенуза). Якщо вони утворюють геометричну прогресію, то $b = a \cdot q$ і $c = a \cdot q^{2}$ .
Застосуємо теорему Піфагора: $(a \cdot q)^{2} + (a \cdot q^{2})^{2} = (a \cdot q^{2})^{2}$ — це невірно, бо гіпотенуза має бути найбільшою стороною, тому порядок членів має бути $a$ , $b = a q$ , $c = a q^{2}$ . Перевіримо: $(a q)^{2} + a^{2} = (a q^{2})^{2} \Rightarrow a^{2} (q^{2} + 1) = a^{2} q^{4}$ .
Скоротимо на $a^{2}$ ( $a \neq = 0$ ): $q^{2} + 1 = q^{4}$ . Перетворимо на рівняння: $q^{4} - q^{2} - 1 = 0$ . Нехай $t = q^{2}$ , тоді $t^{2} - t - 1 = 0$ .

Відповідь:

Так, можуть. Знаменник прогресії дорівнює $\frac{1 + 5}{2}$ (золотий перетин).

Розбір зрозумілий?

§ 17. Геометрична прогресія Geometric Progression Завдання 975 с. 184

Прямокутний трикутник і прогресія

Умова

Чи можуть довжини сторін прямокутного трикутника утворювати геометричну прогресію?

Що треба знати

У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів ( $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ ). Якщо сторони — члени геометричної прогресії, то $b = a \cdot q$ , а $c = a \cdot q^{2}$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Підстав вирази для катетів і гіпотенузи в теорему Піфагора та розв'яжи рівняння відносно знаменника $q$ .

Розв’язання крок за кроком

Нехай сторони трикутника — $a$ , $b$ , $c$ (де $c$ — гіпотенуза). Якщо вони утворюють геометричну прогресію, то $b = a \cdot q$ і $c = a \cdot q^{2}$ .
Застосуємо теорему Піфагора: $(a \cdot q)^{2} + (a \cdot q^{2})^{2} = (a \cdot q^{2})^{2}$ — це невірно, бо гіпотенуза має бути найбільшою стороною, тому порядок членів має бути $a$ , $b = a q$ , $c = a q^{2}$ . Перевіримо: $(a q)^{2} + a^{2} = (a q^{2})^{2} \Rightarrow a^{2} (q^{2} + 1) = a^{2} q^{4}$ .
Скоротимо на $a^{2}$ ( $a \neq = 0$ ): $q^{2} + 1 = q^{4}$ . Перетворимо на рівняння: $q^{4} - q^{2} - 1 = 0$ . Нехай $t = q^{2}$ , тоді $t^{2} - t - 1 = 0$ .

Відповідь:

Так, можуть. Знаменник прогресії дорівнює $\frac{1 + 5}{2}$ (золотий перетин).

Розбір зрозумілий?