Завдання 971, § 17. Геометрична прогресія Geometric Progression — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 971

Доказ властивостей прогресій

Дано геометричну прогресію $b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}, \dots$ . Потрібно довести, що послідовності а) $b_{1} b_{2}, b_{2} b_{3}, b_{3} b_{4}, \dots$ і б) $b_{1} + b_{2}, b_{2} + b_{3}, b_{3} + b_{4}, \dots$ також є геометричними прогресіями.

Розв’язання

Розглянемо послідовність а). Перший член $a_{1} = b_{1} b_{2}$ , другий $a_{2} = b_{2} b_{3}$ . Знайдемо відношення $\frac{a _{2}}{a _{1}} = \frac{b _{2} b _{3}}{b _{1} b _{2}} = \frac{b _{3}}{b _{1}}$ . Оскільки $b_{3} = b_{1} q^{2}$ , то $\frac{a _{2}}{a _{1}} = q^{2}$ . Це стала величина, отже, послідовність є геометричною.
Розглянемо послідовність б). Перший член $c_{1} = b_{1} + b_{2}$ , другий $c_{2} = b_{2} + b_{3}$ . Знайдемо відношення $\frac{c _{2}}{c _{1}} = \frac{b _{2} ( 1 + q )}{b _{1} ( 1 + q )} = \frac{b _{2}}{b _{1}} = q$ . Оскільки $b_{2} = b_{1} q$ , то множник $(1 + q)$ скорочується. Відношення дорівнює знаменнику вихідної прогресії, що є сталою величиною.

Відповідь:

а) послідовність $b_{1} b_{2}, b_{2} b_{3}, \dots$ є геометричною з знаменником $q^{2}$ ; б) послідовність $b_{1} + b_{2}, b_{2} + b_{3}, \dots$ є геометричною з тим самим знаменником $q$ .

Розбір зрозумілий?

§ 17. Геометрична прогресія Geometric Progression Завдання 971 с. 183

Доказ властивостей прогресій

Умова

Що треба знати

У геометричній прогресії кожен наступний член дорівнює попередньому, помноженому на знаменник $q$ . Тобто $b_{n + 1} = b_{n} \cdot q$ . Для доведення того, що послідовність є геометричною, треба показати, що відношення будь-якого наступного члена до попереднього є сталою величиною ( $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = const$ ).

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Розглянь перші два члени нової послідовності та знайди їхнє відношення. Використовуй властивість $b_{k + 1} = b_{k} \cdot q$ для спрощення виразів.

Розв’язання крок за кроком

Розглянемо послідовність а). Перший член $a_{1} = b_{1} b_{2}$ , другий $a_{2} = b_{2} b_{3}$ . Знайдемо відношення $\frac{a _{2}}{a _{1}} = \frac{b _{2} b _{3}}{b _{1} b _{2}} = \frac{b _{3}}{b _{1}}$ . Оскільки $b_{3} = b_{1} q^{2}$ , то $\frac{a _{2}}{a _{1}} = q^{2}$ . Це стала величина, отже, послідовність є геометричною.
Розглянемо послідовність б). Перший член $c_{1} = b_{1} + b_{2}$ , другий $c_{2} = b_{2} + b_{3}$ . Знайдемо відношення $\frac{c _{2}}{c _{1}} = \frac{b _{2} ( 1 + q )}{b _{1} ( 1 + q )} = \frac{b _{2}}{b _{1}} = q$ . Оскільки $b_{2} = b_{1} q$ , то множник $(1 + q)$ скорочується. Відношення дорівнює знаменнику вихідної прогресії, що є сталою величиною.

Відповідь:

Розбір зрозумілий?