Завдання 972, § 17. Геометрична прогресія Geometric Progression — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 972

Доказ властивостей різниці членів прогресії

Дано геометричну прогресію $b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}, \dots$ . Потрібно довести, що послідовність $b_{1} - b_{2}, b_{2} - b_{3}, b_{3} - b_{4}, \dots$ також є геометричною прогресією.

Розв’язання

Запишемо перші два члени нової послідовності: $d_{1} = b_{1} - b_{2}$ і $d_{2} = b_{2} - b_{3}$ .
Виразимо $b_{2} = b_{1} q$ та $b_{3} = b_{2} q = b_{1} q^{2}$ . Підставимо це у вирази для $d_{1}$ і $d_{2}$ : $d_{1} = b_{1} (1 - q)$ , $d_{2} = b_{1} q (1 - q)$ .
Знайдемо відношення $\frac{d _{2}}{d _{1}} = \frac{b _{1} q ( 1 - q )}{b _{1} ( 1 - q )} = q$ . Оскільки відношення дорівнює знаменнику вихідної прогресії $q$ , нова послідовність є геометричною.

Відповідь:

Послідовність $b_{1} - b_{2}, b_{2} - b_{3}, \dots$ є геометричною прогресією з тим самим знаменником $q$ .

Розбір зрозумілий?

§ 17. Геометрична прогресія Geometric Progression Завдання 972 с. 183

Доказ властивостей різниці членів прогресії

Умова

Що треба знати

Використовуємо властивість геометричної прогресії $b_{k + 1} = b_{k} \cdot q$ . Якщо відношення двох послідовних членів нової послідовності дорівнює сталій величині, то ця послідовність є геометричною.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Виразь $b_{2}$ через $b_{1}$ , а $b_{3}$ через $b_{2}$ . Спробуй замінити вирази в дужках так, щоб скоротити множники та знайти відношення $(b_{2} - b_{3}) / (b_{1} - b_{2})$ .

Розв’язання крок за кроком

Запишемо перші два члени нової послідовності: $d_{1} = b_{1} - b_{2}$ і $d_{2} = b_{2} - b_{3}$ .
Виразимо $b_{2} = b_{1} q$ та $b_{3} = b_{2} q = b_{1} q^{2}$ . Підставимо це у вирази для $d_{1}$ і $d_{2}$ : $d_{1} = b_{1} (1 - q)$ , $d_{2} = b_{1} q (1 - q)$ .
Знайдемо відношення $\frac{d _{2}}{d _{1}} = \frac{b _{1} q ( 1 - q )}{b _{1} ( 1 - q )} = q$ . Оскільки відношення дорівнює знаменнику вихідної прогресії $q$ , нова послідовність є геометричною.

Відповідь:

Послідовність $b_{1} - b_{2}, b_{2} - b_{3}, \dots$ є геометричною прогресією з тим самим знаменником $q$ .

Розбір зрозумілий?