Завдання 970, § 17. Геометрична прогресія Geometric Progression — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 970

Доведення тотожності для членів геометричної прогресії

Довести, що якщо $a, b, c$ — геометрична прогресія, то $(a^{2} + b^{2}) c = (b^{2} + c^{2}) a$ .

Розв’язання

Розкриємо дужки у виразі лівої частини: $(a^{2} + b^{2}) c = a^{2} c + b^{2} c$ .
Розкриємо дужки у виразі правої частини: $(b^{2} + c^{2}) a = a b^{2} + c^{2} a$ .
Оскільки $a, b, c$ — геометрична прогресія, маємо $b^{2} = a c$ . Підставимо це у ліву частину: $a^{2} c + (a c) c = a^{2} c + a c^{2}$ .
Перепишемо праву частину, виходячи з того ж рівняння $a b^{2} = a (a c) = a^{2} c$ та $c^{2} a$ : $a b^{2} + c^{2} a = a^{2} c + a c^{2}$ .
Порівнюємо: ліва частина стала $a^{2} c + a c^{2}$ , права частина також $a^{2} c + a c^{2}$ . Рівність доведена.

Відповідь:

Доведено.

Розбір зрозумілий?

§ 17. Геометрична прогресія Geometric Progression Завдання 970 с. 183

Умова

Довести, що якщо $a, b, c$ — геометрична прогресія, то $(a^{2} + b^{2}) c = (b^{2} + c^{2}) a$ .

Що треба знати

Якщо числа $a, b, c$ утворюють геометричну прогресію, то виконується властивість $b^{2} = a c$ . Це ключова залежність для перетворення виразів.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Розкриємо дужки в обох частинах рівності і спробуємо замінити один член на добуток двох інших за властивістю прогресії.

Розв’язання крок за кроком

Розкриємо дужки у виразі лівої частини: $(a^{2} + b^{2}) c = a^{2} c + b^{2} c$ .
Розкриємо дужки у виразі правої частини: $(b^{2} + c^{2}) a = a b^{2} + c^{2} a$ .
Оскільки $a, b, c$ — геометрична прогресія, маємо $b^{2} = a c$ . Підставимо це у ліву частину: $a^{2} c + (a c) c = a^{2} c + a c^{2}$ .
Перепишемо праву частину, виходячи з того ж рівняння $a b^{2} = a (a c) = a^{2} c$ та $c^{2} a$ : $a b^{2} + c^{2} a = a^{2} c + a c^{2}$ .
Порівнюємо: ліва частина стала $a^{2} c + a c^{2}$ , права частина також $a^{2} c + a c^{2}$ . Рівність доведена.

Відповідь:

Доведено.

Розбір зрозумілий?