Завдання 969, § 17. Геометрична прогресія Geometric Progression — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 969

Доведення, що послідовність є геометричною прогресією

Довести, що задані послідовності $(x_{n})$ є геометричними прогресіями: а) $x_{n} = 5 \cdot 2^{n + 1}$ ; б) $x_{n} = 0, 4^{1 + n}$ .

Розв’язання

а) 1. Запишемо наступний член послідовності: $x_{n + 1} = 5 \cdot 2^{(n + 1) + 1} = 5 \cdot 2^{n + 2}$ .
Знайдемо відношення: $\frac{x _{n + 1}}{x _{n}} = \frac{5 \cdot 2 ^{n + 2}}{5 \cdot 2 ^{n + 1}} = \frac{2 ^{n + 2}}{2 ^{n + 1}} = 2$ . Оскільки відношення стало, це геометрична прогресія.
б) 1. Запишемо наступний член: $x_{n + 1} = 0, 4^{1 + (n + 1)} = 0, 4^{n + 2}$ .
Знайдемо відношення: $\frac{x _{n + 1}}{x _{n}} = \frac{0 , 4 ^{n + 2}}{0 , 4 ^{n + 1}} = 0, 4$ . Відношення стало, отже, це геометрична прогресія.

Відповідь:

а) Так; б) Так.

Розбір зрозумілий?

§ 17. Геометрична прогресія Geometric Progression Завдання 969 с. 183

Доведення, що послідовність є геометричною прогресією

Умова

Довести, що задані послідовності $(x_{n})$ є геометричними прогресіями: а) $x_{n} = 5 \cdot 2^{n + 1}$ ; б) $x_{n} = 0, 4^{1 + n}$ .

Що треба знати

Послідовність називається геометричною прогресією, якщо відношення будь-якого наступного члена до попереднього є сталою величиною (знаменником $q$ ). Формула вигляду $x_{n} = x_{1} \cdot q^{n - 1}$ або $x_{n} = A \cdot B^{n}$ завжди описує геометричну прогресію.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Обчислимо відношення $\frac{x _{n + 1}}{x _{n}}$ для кожної функції і покажемо, що воно не залежить від $n$ .

Розв’язання крок за кроком

а) 1. Запишемо наступний член послідовності: $x_{n + 1} = 5 \cdot 2^{(n + 1) + 1} = 5 \cdot 2^{n + 2}$ .
Знайдемо відношення: $\frac{x _{n + 1}}{x _{n}} = \frac{5 \cdot 2 ^{n + 2}}{5 \cdot 2 ^{n + 1}} = \frac{2 ^{n + 2}}{2 ^{n + 1}} = 2$ . Оскільки відношення стало, це геометрична прогресія.
б) 1. Запишемо наступний член: $x_{n + 1} = 0, 4^{1 + (n + 1)} = 0, 4^{n + 2}$ .
Знайдемо відношення: $\frac{x _{n + 1}}{x _{n}} = \frac{0 , 4 ^{n + 2}}{0 , 4 ^{n + 1}} = 0, 4$ . Відношення стало, отже, це геометрична прогресія.

Відповідь:

а) Так; б) Так.

Розбір зрозумілий?