Завдання 968, § 17. Геометрична прогресія Geometric Progression — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 968

Знаходження членів прогресії за умовами про арифметичну та геометричну прогресії

Сума трьох чисел, що утворюють арифметичну прогресію, дорівнює 18. Якщо до них додати відповідно 1, 3 і 17, то одержані числа утворять геометричну прогресію. Знайти ці числа.

Розв’язання

Позначимо шукані числа як $a - d, a, a + d$ . Оскільки їх сума дорівнює 18, маємо $(a - d) + a + (a + d) = 3 a = 18$ , звідки $a = 6$ .
Запишемо вирази для нових чисел: перше — $6 - d + 1 = 7 - d$ , друге — $6 + 3 = 9$ , третє — $6 + d + 17 = 23 + d$ .
Складемо рівняння за властивістю геометричної прогресії: $(7 - d) (23 + d) = 9^{2}$ .
Розкриємо дужки: $161 + 7 d - 23 d - d^{2} = 81$ , що дає $- d^{2} - 16 d + 80 = 0$ або $d^{2} + 16 d - 80 = 0$ .
Розв'язуємо квадратне рівняння: $D = 256 - 4 \cdot (- 80) = 576$ , $D = 24$ . Корені: $d_{1} = \frac{- 16 + 24}{2} = 4$ , $d_{2} = \frac{- 16 - 24}{2} = - 20$ .

Відповідь:

Числа: 2, 6, 10 (при $d = 4$ ) або -14, 6, 26 (при $d = - 20$ ).

Розбір зрозумілий?

§ 17. Геометрична прогресія Geometric Progression Завдання 968 с. 183

Знаходження членів прогресії за умовами про арифметичну та геометричну прогресії

Умова

Що треба знати

Нехай шукані числа $a - d$ , $a$ , $a + d$ . Сума дорівнює $3 a = 18 \Rightarrow a = 6$ . Нові числа: $(a - d) + 1$ , $a + 3$ , $(a + d) + 17$ . Для геометричної прогресії виконується властивість $\frac{b _{2}}{b _{1}} = \frac{b _{3}}{b _{2}}$ , тобто добутку крайніх членів дорівнює квадрату середнього.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Скористайся властивістю геометричної прогресії $b_{1} \cdot b_{3} = b_{2}^{2}$ , підставивши вирази для нових чисел.

Розв’язання крок за кроком

Позначимо шукані числа як $a - d, a, a + d$ . Оскільки їх сума дорівнює 18, маємо $(a - d) + a + (a + d) = 3 a = 18$ , звідки $a = 6$ .
Запишемо вирази для нових чисел: перше — $6 - d + 1 = 7 - d$ , друге — $6 + 3 = 9$ , третє — $6 + d + 17 = 23 + d$ .
Складемо рівняння за властивістю геометричної прогресії: $(7 - d) (23 + d) = 9^{2}$ .
Розкриємо дужки: $161 + 7 d - 23 d - d^{2} = 81$ , що дає $- d^{2} - 16 d + 80 = 0$ або $d^{2} + 16 d - 80 = 0$ .
Розв'язуємо квадратне рівняння: $D = 256 - 4 \cdot (- 80) = 576$ , $D = 24$ . Корені: $d_{1} = \frac{- 16 + 24}{2} = 4$ , $d_{2} = \frac{- 16 - 24}{2} = - 20$ .

Відповідь:

Числа: 2, 6, 10 (при $d = 4$ ) або -14, 6, 26 (при $d = - 20$ ).

Розбір зрозумілий?