Завдання 967, § 17. Геометрична прогресія Geometric Progression — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 967

Знаходження трьох чисел за сумою та умовами прогресій

Три числа утворюють геометричну прогресію, їх сума $21$ . Якщо до першого додати $1$ , до другого $3$ , а до третього $2$ , отримані числа утворюють арифметичну прогресію. Знайти ці числа.

Розв’язання

Запишемо рівність різниць для арифметичної прогресії: $a q + 2 = a q^{2} - 1 \Rightarrow q (a - q) = - 3$ .
Складемо систему: ${a (1 + q + q^{2}) = 21 q^{2} - a q - 3 = 0$ . З першого рівняння $a = \frac{21}{1 + q + q ^{2}}$ . Підставимо у друге.
Після спрощень отримаємо квадратне рівняння відносно $q$ : $q^{4} + q^{3} - 5 q^{2} - 4 q - 3 = 0$ . Корені: $q = 1$ (відкидаємо, бо числа мають бути різними для прогресії), $q = - 1$ , $q = 3$ .
При $q = 3$ : $a (1 + 3 + 9) = 21 \Rightarrow 13 a = 21$ — не ціле. Перевіримо ще раз умову арифметичної прогресії: $(a + 3) - (a q + 1) = (a q^{2} + 2) - (a q + 3)$ .
Правильніший підхід: $a, a q, a q^{2}$ . Сума $S = 21$ . Нова послідовність $a + 1, a q + 3, a q^{2} + 2$ . Різниця: $(a q + 3) - (a + 1) = (a q^{2} + 2) - (a q + 3) \Rightarrow 2 + q (a - 1) = q^{2} a - 1 \Rightarrow a (q^{2} - q + 1) = 3$ .
Маємо систему: ${a (1 + q + q^{2}) = 21 a (q^{2} - q + 1) = 3$ . Поділимо перше на друге: $\frac{1 + q + q ^{2}}{q ^{2} - q + 1} = 7 \Rightarrow 1 + q + q^{2} = 7 q^{2} - 7 q + 7 \Rightarrow 6 q^{2} - 8 q + 6 = 0$ .
Дискримінант $D = 64 - 144 < 0$ . Помилка в логіці вище. Перевіримо умову: $(a + 3) - (a q + 1) = a (q^{2} + 2) - (a q + 3)$ ? Ні, різниця між першим і другим нових чисел дорівнює різниці між другим і третім.
$(a q + 3) - (a + 1) = (a q^{2} + 2) - (a q + 3)$ .
$a q + 2 = a q^{2} - 1 \Rightarrow a (q^{2} - q) = 3$ .
Система: ${a (1 + q + q^{2}) = 21 a (q^{2} - q) = 3$ . Поділимо: $\frac{1 + q + q ^{2}}{q ^{2} - q} = 7 \Rightarrow 1 + q + q^{2} = 7 q^{2} - 7 q \Rightarrow 6 q^{2} - 8 q - 1 = 0$ .
$D = 64 + 24 = 88$ . Це не дає гарних чисел. Перевіримо умову задачі ще раз: "до першого числа додати 1, до другого 3, а до третього 2".
Нехай числа $a, b, c$ . $a + b + c = 21$ . $b^{2} = a c$ .
$(a + 1), (b + 3), (c + 2)$ — арифметична прогресія.
$(b + 3) - (a + 1) = (c + 2) - (b + 3) \Rightarrow b - a + 2 = c - b - 1 \Rightarrow 2 b - a - c = - 3$ .
Додамо $a + b + c = 21$ та $2 b - a - c = - 3$ : $3 b = 18 \Rightarrow b = 6$ .
Тоді $a + c = 15$ , $a c = 36$ . $t^{2} - 15 t + 36 = 0$ . $(t - 3) (t - 12) = 0$ . Числа $3, 6, 12$ .

Відповідь:

Числа $3; 6; 12$ .

Розбір зрозумілий?

§ 17. Геометрична прогресія Geometric Progression Завдання 967 с. 183

Знаходження трьох чисел за сумою та умовами прогресій

Умова

Що треба знати

Нехай числа $a, a q, a q^{2}$ . Сума $a (1 + q + q^{2}) = 21$ . Для арифметичної прогресії різниця між сусідніми членами однакова: $(a q + 3) - (a + 1) = (a q^{2} + 2) - (a q + 3)$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Склади систему рівнянь з умови суми та властивості арифметичної прогресії.

Розв’язання крок за кроком

Запишемо рівність різниць для арифметичної прогресії: $a q + 2 = a q^{2} - 1 \Rightarrow q (a - q) = - 3$ .
Складемо систему: ${a (1 + q + q^{2}) = 21 q^{2} - a q - 3 = 0$ . З першого рівняння $a = \frac{21}{1 + q + q ^{2}}$ . Підставимо у друге.
Після спрощень отримаємо квадратне рівняння відносно $q$ : $q^{4} + q^{3} - 5 q^{2} - 4 q - 3 = 0$ . Корені: $q = 1$ (відкидаємо, бо числа мають бути різними для прогресії), $q = - 1$ , $q = 3$ .
При $q = 3$ : $a (1 + 3 + 9) = 21 \Rightarrow 13 a = 21$ — не ціле. Перевіримо ще раз умову арифметичної прогресії: $(a + 3) - (a q + 1) = (a q^{2} + 2) - (a q + 3)$ .
Правильніший підхід: $a, a q, a q^{2}$ . Сума $S = 21$ . Нова послідовність $a + 1, a q + 3, a q^{2} + 2$ . Різниця: $(a q + 3) - (a + 1) = (a q^{2} + 2) - (a q + 3) \Rightarrow 2 + q (a - 1) = q^{2} a - 1 \Rightarrow a (q^{2} - q + 1) = 3$ .
Маємо систему: ${a (1 + q + q^{2}) = 21 a (q^{2} - q + 1) = 3$ . Поділимо перше на друге: $\frac{1 + q + q ^{2}}{q ^{2} - q + 1} = 7 \Rightarrow 1 + q + q^{2} = 7 q^{2} - 7 q + 7 \Rightarrow 6 q^{2} - 8 q + 6 = 0$ .
Дискримінант $D = 64 - 144 < 0$ . Помилка в логіці вище. Перевіримо умову: $(a + 3) - (a q + 1) = a (q^{2} + 2) - (a q + 3)$ ? Ні, різниця між першим і другим нових чисел дорівнює різниці між другим і третім.
$(a q + 3) - (a + 1) = (a q^{2} + 2) - (a q + 3)$ .
$a q + 2 = a q^{2} - 1 \Rightarrow a (q^{2} - q) = 3$ .
Система: ${a (1 + q + q^{2}) = 21 a (q^{2} - q) = 3$ . Поділимо: $\frac{1 + q + q ^{2}}{q ^{2} - q} = 7 \Rightarrow 1 + q + q^{2} = 7 q^{2} - 7 q \Rightarrow 6 q^{2} - 8 q - 1 = 0$ .
$D = 64 + 24 = 88$ . Це не дає гарних чисел. Перевіримо умову задачі ще раз: "до першого числа додати 1, до другого 3, а до третього 2".
Нехай числа $a, b, c$ . $a + b + c = 21$ . $b^{2} = a c$ .
$(a + 1), (b + 3), (c + 2)$ — арифметична прогресія.
$(b + 3) - (a + 1) = (c + 2) - (b + 3) \Rightarrow b - a + 2 = c - b - 1 \Rightarrow 2 b - a - c = - 3$ .
Додамо $a + b + c = 21$ та $2 b - a - c = - 3$ : $3 b = 18 \Rightarrow b = 6$ .
Тоді $a + c = 15$ , $a c = 36$ . $t^{2} - 15 t + 36 = 0$ . $(t - 3) (t - 12) = 0$ . Числа $3, 6, 12$ .

Відповідь:

Числа $3; 6; 12$ .

Розбір зрозумілий?