Завдання 962, § 17. Геометрична прогресія Geometric Progression — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 962

Добуток перших членів прогресії

П'ятий член геометричної прогресії дорівнює $b_{5} = 1$ . Знайти добуток дев'яти її перших членів.

Розв’язання

Запишемо вираз для добутку дев'яти членів: $P_{9} = b_{1} \cdot b_{2} \cdot \dots \cdot b_{9}$ .
Використаємо властивість геометричної прогресії $b_{k} \cdot b_{n - k + 1} = b_{1} \cdot b_{n}$ (добуток симетричних членів дорівнює добутку першого та останнього).
Групуємо члени: $(b_{1} \cdot b_{9}) \cdot (b_{2} \cdot b_{8}) \cdot (b_{3} \cdot b_{7}) \cdot (b_{4} \cdot b_{6}) \cdot b_{5}$ . Кожен дужковий доданок дорівнює $b_{1} \cdot b_{9}$ , а ми знаємо, що $b_{5} = 1$ .
Оскільки $b_{5}$ — середній член між першим і дев'ятим ( $5 = (1 + 9) /2$ ), то $b_{1} \cdot b_{9} = b_{5}^{2}$ . Отже, кожен з чотирьох парних доданків дорівнює $1^{2} = 1$ .
Підставимо значення: $P_{9} = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$ .

Відповідь:

Розбір зрозумілий?

§ 17. Геометрична прогресія Geometric Progression Завдання 962 с. 183

Добуток перших членів прогресії

Умова

П'ятий член геометричної прогресії дорівнює $b_{5} = 1$ . Знайти добуток дев'яти її перших членів.

Що треба знати

Добуток $n$ перших членів геометричної прогресії обчислюється за формулою $P_{n} = b_{1}^{n} \cdot q^{n (n - 1) /2}$ . Також відомо властивість, що добуток $n$ членів дорівнює добутку першого та останнього члена, піднесеному до степеня $n /2$ , якщо $n$ парне. Для непарного $n$ ( $n = 9$ ) зручно скористатися властивістю симетрії: $b_{1} \cdot b_{9} = b_{2} \cdot b_{8} = \dots = b_{5}^{2}$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Спробуй записати добуток як $(b_{1} \cdot b_{9}) \cdot (b_{2} \cdot b_{8}) \cdot (b_{3} \cdot b_{7}) \cdot (b_{4} \cdot b_{6}) \cdot b_{5}$ .

Розв’язання крок за кроком

Запишемо вираз для добутку дев'яти членів: $P_{9} = b_{1} \cdot b_{2} \cdot \dots \cdot b_{9}$ .
Використаємо властивість геометричної прогресії $b_{k} \cdot b_{n - k + 1} = b_{1} \cdot b_{n}$ (добуток симетричних членів дорівнює добутку першого та останнього).
Групуємо члени: $(b_{1} \cdot b_{9}) \cdot (b_{2} \cdot b_{8}) \cdot (b_{3} \cdot b_{7}) \cdot (b_{4} \cdot b_{6}) \cdot b_{5}$ . Кожен дужковий доданок дорівнює $b_{1} \cdot b_{9}$ , а ми знаємо, що $b_{5} = 1$ .
Оскільки $b_{5}$ — середній член між першим і дев'ятим ( $5 = (1 + 9) /2$ ), то $b_{1} \cdot b_{9} = b_{5}^{2}$ . Отже, кожен з чотирьох парних доданків дорівнює $1^{2} = 1$ .
Підставимо значення: $P_{9} = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$ .

Відповідь:

Розбір зрозумілий?