Завдання 961, § 17. Геометрична прогресія Geometric Progression — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 961

Знаходження трьох чисел геометричної прогресії за сумаю та добутком

Три числа $a, b, c$ утворюють геометричну прогресію. Сума $a + b + c = 21$ , добуток $ab c = 216$ .

Розв’язання

Нехай числа $\frac{b}{q}, b, b q$ . Тоді їхній добуток $ab c = \frac{b}{q} \cdot b \cdot b q = b^{3}$ .
Знайдемо $b$ : $b^{3} = 216 \Rightarrow b = 6$ .
Підставимо $b = 6$ у суму: $\frac{6}{q} + 6 + 6 q = 21$ . Розв'яжемо рівняння відносно $q$ : $\frac{6}{q} + 6 q = 15 \Rightarrow 6 + 6 q^{2} = 15 q \Rightarrow 6 q^{2} - 15 q + 6 = 0$ .
Розв'яжемо квадратне рівняння: $D = 225 - 144 = 81$ , $D = 9$ . Корені: $q_{1} = \frac{15 + 9}{12} = 2$ , $q_{2} = \frac{15 - 9}{12} = 0, 5$ .

Відповідь:

Числа: $3, 6, 12$ (при $q = 2$ ) або $12, 6, 3$ (при $q = 0, 5$ ).

Розбір зрозумілий?

§ 17. Геометрична прогресія Geometric Progression Завдання 961 с. 183

Умова

Три числа $a, b, c$ утворюють геометричну прогресію. Сума $a + b + c = 21$ , добуток $ab c = 216$ .

Що треба знати

Якщо три числа утворюють геометричну прогресію, їх можна записати як $\frac{b}{q}, b, b q$ . Добуток таких чисел дорівнює $b^{3}$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Використайте властивість добутку членів геометричної прогресії для знаходження середнього числа.

Розв’язання крок за кроком

Нехай числа $\frac{b}{q}, b, b q$ . Тоді їхній добуток $ab c = \frac{b}{q} \cdot b \cdot b q = b^{3}$ .
Знайдемо $b$ : $b^{3} = 216 \Rightarrow b = 6$ .
Підставимо $b = 6$ у суму: $\frac{6}{q} + 6 + 6 q = 21$ . Розв'яжемо рівняння відносно $q$ : $\frac{6}{q} + 6 q = 15 \Rightarrow 6 + 6 q^{2} = 15 q \Rightarrow 6 q^{2} - 15 q + 6 = 0$ .
Розв'яжемо квадратне рівняння: $D = 225 - 144 = 81$ , $D = 9$ . Корені: $q_{1} = \frac{15 + 9}{12} = 2$ , $q_{2} = \frac{15 - 9}{12} = 0, 5$ .

Відповідь:

Числа: $3, 6, 12$ (при $q = 2$ ) або $12, 6, 3$ (при $q = 0, 5$ ).

Розбір зрозумілий?