Дано скінченну геометричну прогресію (bn) з двома випадками: а) q=−31,b1=27,Sn=2031; б) b1=3,bn=96,Sn=189. Потрібно знайти кількість членів n у кожному випадку.
Розв’язання
Випадок а): Підставимо значення в формулу суми: 2031=1−(−31)27(1−(−31)n). Спростимо дріб: 367=3427(1−(−31)n). Помножимо на 34: 67⋅94=27(1−(−31)n). Це виглядає складним, спробуємо інший підхід. Знайдемо bn через суму та перші члени? Ні, краще розв'язати рівняння відносно qn. 367=4/327(1−(−31)n)⇒367⋅34=27(1−(−31)n)⇒9268=27−27(−31)n. Це не виходить гарно. Перевіримо умову: Sn=2031=367. Формула Sn=1−qb1−bn+1. Тоді 367=4/327−bn+1⇒67⋅94=27−bn+1⇒9268=27−bn+1. Це не ціле число. Можливо, я неправильно зрозумів умову або є помилка в моїх обчисленнях. Давайте спробуємо підставити n=3: S3=4/327(1−(−1/27))=4/327(28/27)=28⋅43=21. Не підходить. Спробуємо n=5: S5=4/327(1−(1/243))=4/327(242/243)=4/3242/9=12242=20122=2061. Ближче. Спробуємо n=4: S4=4/327(1−(1/81))=4/327(80/81)=4/380/3=20. Ой, 2031 це 361. Тоді Sn=361. 4/327(1−(−1/3)n)=361⇒27(1−(−1/3)n)=361⋅34=9244. 1−(−1/3)n=243244. Це неможливо, бо 243244>1, а (−1/3)n має бути від'ємним або меншим за 1. Очевидно, що q=−31 дає чергування знаків. Перевіримо ще раз: Sn=1−qb1(1−qn). 367=4/327(1−(−1/3)n). 67/3∗4/3=27(1−(−1/3)n). 268/9=27−27(−1/3)n. 27(−1/3)n=27−268/9=(243−268)/9=−25/9. (−1/3)n=−25/243. Це не ступінь з цілим показником. Можливо, в умові помилка або я бачу неправильно. Перевіримо ще раз числа: b1=27,q=−1/3,Sn=2031. 2031=61/3. 4/327(1−(−1/3)n)=361. 27∗3/4(1−(−1/3)n)=61/3. 81/4(1−(−1/3)n)=61/3. 1−(−1/3)n=361⋅814=243244. Це більше 1, отже (−1/3)n має бути від'ємним і меншим за 0. Але 243244 більше 1, отже 1−x>1⇒x<0. Так, x=(−1/3)n. Тоді (−1/3)n=1−243244=−2431. Знайдемо n:
Випадок б): Дано b1=3,bn=96,Sn=189. Знайдемо знаменник q. Використаємо властивість: Sn=1−qb1−bn+1, де bn+1=bn⋅q=96q. Тоді 189=1−q3−96q. 189(1−q)=3−96q⇒189−189q=3−96q⇒186=93q⇒q=2. Тепер знайдемо n за формулою bn=b1⋅qn−1. 96=3⋅2n−1⇒32=2n−1⇒25=2n−1⇒n−1=5⇒n=6.
Дано скінченну геометричну прогресію (bn) з двома випадками: а) q=−31,b1=27,Sn=2031; б) b1=3,bn=96,Sn=189. Потрібно знайти кількість членів n у кожному випадку.
Що треба знати
Сума скінченної геометричної прогресії задається формулою Sn=1−qb1(1−qn). Також відома зв'язок між останнім членом та сумою: Sn=b1+b2+⋯+bn=1−qb1−bn+1, але простіше використати основну формулу для знаходження qn або просто підставити відомі значення. Для випадку б) можна скористатися властивістю Sn=1−qb1−bn+1, де bn+1=bn⋅q.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
У першому пункті підставте відомі значення в формулу суми та знайдіть qn, а потім визначте n через логарифм або спробування степенів. У другому пункті скористайтеся формулою Sn=1−qb1−bn+1, де bn+1=bn⋅q.
Розв’язання крок за кроком
Випадок а): Підставимо значення в формулу суми: 2031=1−(−31)27(1−(−31)n). Спростимо дріб: 367=3427(1−(−31)n). Помножимо на 34: 67⋅94=27(1−(−31)n). Це виглядає складним, спробуємо інший підхід. Знайдемо bn через суму та перші члени? Ні, краще розв'язати рівняння відносно qn. 367=4/327(1−(−31)n)⇒367⋅34=27(1−(−31)n)⇒9268=27−27(−31)n. Це не виходить гарно. Перевіримо умову: Sn=2031=367. Формула Sn=1−qb1−bn+1. Тоді 367=4/327−bn+1⇒67⋅94=27−bn+1⇒9268=27−bn+1. Це не ціле число. Можливо, я неправильно зрозумів умову або є помилка в моїх обчисленнях. Давайте спробуємо підставити n=3: S3=4/327(1−(−1/27))=4/327(28/27)=28⋅43=21. Не підходить. Спробуємо n=5: S5=4/327(1−(1/243))=4/327(242/243)=4/3242/9=12242=20122=2061. Ближче. Спробуємо n=4: S4=4/327(1−(1/81))=4/327(80/81)=4/380/3=20. Ой, 2031 це 361. Тоді Sn=361. 4/327(1−(−1/3)n)=361⇒27(1−(−1/3)n)=361⋅34=9244. 1−(−1/3)n=243244. Це неможливо, бо 243244>1, а (−1/3)n має бути від'ємним або меншим за 1. Очевидно, що q=−31 дає чергування знаків. Перевіримо ще раз: Sn=1−qb1(1−qn). 367=4/327(1−(−1/3)n). 67/3∗4/3=27(1−(−1/3)n). 268/9=27−27(−1/3)n. 27(−1/3)n=27−268/9=(243−268)/9=−25/9. (−1/3)n=−25/243. Це не ступінь з цілим показником. Можливо, в умові помилка або я бачу неправильно. Перевіримо ще раз числа: b1=27,q=−1/3,Sn=2031. 2031=61/3. 4/327(1−(−1/3)n)=361. 27∗3/4(1−(−1/3)n)=61/3. 81/4(1−(−1/3)n)=61/3. 1−(−1/3)n=361⋅814=243244. Це більше 1, отже (−1/3)n має бути від'ємним і меншим за 0. Але 243244 більше 1, отже 1−x>1⇒x<0. Так, x=(−1/3)n. Тоді (−1/3)n=1−243244=−2431. Знайдемо n:
Випадок б): Дано b1=3,bn=96,Sn=189. Знайдемо знаменник q. Використаємо властивість: Sn=1−qb1−bn+1, де bn+1=bn⋅q=96q. Тоді 189=1−q3−96q. 189(1−q)=3−96q⇒189−189q=3−96q⇒186=93q⇒q=2. Тепер знайдемо n за формулою bn=b1⋅qn−1. 96=3⋅2n−1⇒32=2n−1⇒25=2n−1⇒n−1=5⇒n=6.
