Завдання 957, § 17. Геометрична прогресія Geometric Progression — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 957

Знайти формулу та суму послідовності

Дано $c_{1} = 16$ , $c_{n} = 0, 5 c_{n - 1}$ . Потрібно написати кілька перших членів, знайти загальну формулу для $n$ -го члена та обчислити суму восьми перших членів ( $S_{8}$ ).

Розв’язання

Визначаємо перші члени: $c_{1} = 16$ . Оскільки $c_{n} = 0, 5 c_{n - 1}$ , знаменник $q = 0, 5$ . Другий член $c_{2} = 16 \cdot 0, 5 = 8$ , третій $c_{3} = 8 \cdot 0, 5 = 4$ .
Записуємо формулу $n$ -го члена: $c_{n} = 16 \cdot (0, 5)^{n - 1}$ .
Обчислюємо суму восьми членів за формулою $S_{8} = \frac{16 ( 1 - ( 0 , 5 ) ^{8} )}{1 - 0 , 5}$ . Спростимо: $S_{8} = \frac{16 ( 1 - \frac{1}{256} )}{0 , 5} = 32 (1 - \frac{1}{256}) = 32 - \frac{32}{256} = 32 - \frac{1}{8} = 31, 875$ .

Відповідь:

$c_{1} = 16, c_{2} = 8, c_{3} = 4, \dots$ ; $c_{n} = 16 \cdot (0, 5)^{n - 1}$ ; $S_{8} = 31, 875$ .

Розбір зрозумілий?

§ 17. Геометрична прогресія Geometric Progression Завдання 957 с. 182

Знайти формулу та суму послідовності

Умова

Що треба знати

Оскільки кожен наступний член дорівнює попередньому, помноженому на $0, 5$ , це геометрична прогресія з знаменником $q = 0, 5$ . Формула $n$ -го члена має вигляд $c_{n} = c_{1} \cdot q^{n - 1}$ . Сума перших $n$ членів обчислюється за формулою $S_{n} = \frac{c _{1} ( c _{n} \cdot q - 1 )}{q - 1}$ або $S_{n} = \frac{c _{1} ( 1 - q ^{n} )}{1 - q}$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Спочатку запишіть перші три члени, щоб перевірити знаменник. Потім підставьте значення $c_{1}$ та $q$ у формулу загального члена. Для суми скористайтеся формулою для скінченної геометричної прогресії.

Розв’язання крок за кроком

Визначаємо перші члени: $c_{1} = 16$ . Оскільки $c_{n} = 0, 5 c_{n - 1}$ , знаменник $q = 0, 5$ . Другий член $c_{2} = 16 \cdot 0, 5 = 8$ , третій $c_{3} = 8 \cdot 0, 5 = 4$ .
Записуємо формулу $n$ -го члена: $c_{n} = 16 \cdot (0, 5)^{n - 1}$ .
Обчислюємо суму восьми членів за формулою $S_{8} = \frac{16 ( 1 - ( 0 , 5 ) ^{8} )}{1 - 0 , 5}$ . Спростимо: $S_{8} = \frac{16 ( 1 - \frac{1}{256} )}{0 , 5} = 32 (1 - \frac{1}{256}) = 32 - \frac{32}{256} = 32 - \frac{1}{8} = 31, 875$ .

Відповідь:

$c_{1} = 16, c_{2} = 8, c_{3} = 4, \dots$ ; $c_{n} = 16 \cdot (0, 5)^{n - 1}$ ; $S_{8} = 31, 875$ .

Розбір зрозумілий?