Завдання 956, § 17. Геометрична прогресія Geometric Progression — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 956

Побудова послідовності та знаходження суми

Дано властивість послідовності: $b_{1} = 1$ , $b_{n} = 3 b_{n - 1}$ . Потрібно написати кілька перших членів, знайти загальну формулу для $n$ -го члена та обчислити суму шести перших членів ( $S_{6}$ ).

Розв’язання

Знайдемо перші члени: $b_{1} = 1$ ; $b_{2} = 3 \cdot 1 = 3$ ; $b_{3} = 3 \cdot 3 = 9$ ; $b_{4} = 27$ . Це геометрична прогресія з $b_{1} = 1, q = 3$ .
Запишемо формулу $n$ -го члена: $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1} = 1 \cdot 3^{n - 1} = 3^{n - 1}$ .
Обчислимо суму шести перших членів ( $n = 6$ ): $S_{6} = \frac{1 \cdot ( 3 ^{6} - 1 )}{3 - 1} = \frac{729 - 1}{2} = \frac{728}{2} = 364$ .

Відповідь:

Перші члени: $1, 3, 9, 27, \dots$ ; формула: $b_{n} = 3^{n - 1}$ ; сума $S_{6} = 364$ .

Розбір зрозумілий?

§ 17. Геометрична прогресія Geometric Progression Завдання 956 с. 182

Побудова послідовності та знаходження суми

Умова

Що треба знати

Оскільки кожен наступний член утричі більший за попередній ( $b_{n} = 3 b_{n - 1}$ ), це геометрична прогресія з $q = 3$ . Сума обчислюється за формулою $S_{n} = \frac{b _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Запишіть перші члени послідовності, використовуючи рекурентне співвідношення. Визначте $b_{1}$ та $q$ , щоб записати формулу $n$ -го члена. Підставте значення у формулу суми.

Розв’язання крок за кроком

Знайдемо перші члени: $b_{1} = 1$ ; $b_{2} = 3 \cdot 1 = 3$ ; $b_{3} = 3 \cdot 3 = 9$ ; $b_{4} = 27$ . Це геометрична прогресія з $b_{1} = 1, q = 3$ .
Запишемо формулу $n$ -го члена: $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1} = 1 \cdot 3^{n - 1} = 3^{n - 1}$ .
Обчислимо суму шести перших членів ( $n = 6$ ): $S_{6} = \frac{1 \cdot ( 3 ^{6} - 1 )}{3 - 1} = \frac{729 - 1}{2} = \frac{728}{2} = 364$ .

Відповідь:

Перші члени: $1, 3, 9, 27, \dots$ ; формула: $b_{n} = 3^{n - 1}$ ; сума $S_{6} = 364$ .

Розбір зрозумілий?