Завдання 954, § 17. Геометрична прогресія Geometric Progression — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 954

Вставлення членів у прогресію

Між числами $40 \frac{1}{2}$ і $5 \frac{1}{3}$ вставити такі чотири числа, щоб разом з даними вони утворили геометричну прогресію. Знайти суму цієї прогресії двома способами.

Розв’язання

Перетворимо числа на дроби: $40 \frac{1}{2} = \frac{81}{2}$ , $5 \frac{1}{3} = \frac{16}{3}$ . Оскільки вставляємо 4 числа, прогресія матиме $4 + 2 = 6$ членів.
Знайдемо знаменник $q$ : $\frac{16}{3} = \frac{81}{2} \cdot q^{5} \Rightarrow q^{5} = \frac{16}{3} \cdot \frac{2}{81} = \frac{32}{243}$ . Звідси $q = 5 \frac{32}{243} = \frac{2}{3}$ .
Знайдемо пропущені члени: $b_{2} = \frac{81}{2} \cdot \frac{2}{3} = 27$ ; $b_{3} = 27 \cdot \frac{2}{3} = 18$ ; $b_{4} = 18 \cdot \frac{2}{3} = 12$ ; $b_{5} = 12 \cdot \frac{2}{3} = 8$ .
Обчислимо суму за формулою: $S_{6} = \frac{\frac{81}{2} (( \frac{2}{3} ) ^{6} - 1 )}{\frac{2}{3} - 1} = \frac{40 , 5 ( \frac{64}{729} - 1 )}{- \frac{1}{3}} = 136$ .

Відповідь:

Вставлені числа: $27, 18, 12, 8$ ; сума прогресії дорівнює $136$ .

Розбір зрозумілий?

§ 17. Геометрична прогресія Geometric Progression Завдання 954 с. 182

Вставлення членів у прогресію

Умова

Що треба знати

Якщо між двома числами $a$ та $b$ вставити $k$ чисел, то отримаємо прогресію з $(k + 2)$ членами. Знаменник $q$ знаходять за формулою $b = a \cdot q^{k + 1}$ . Сума геометричної прогресії обчислюється як $S_{n} = \frac{a _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}$ (для $q \neq = 1$ ).

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Перетворіть мішані числа на неправильні дроби. Складіть рівняння для знаменника, підставивши перший і останній члени прогресії. Знайдіть $q$ , потім обчисліть суму за формулою та додавши всі знайдені члени.

Розв’язання крок за кроком

Перетворимо числа на дроби: $40 \frac{1}{2} = \frac{81}{2}$ , $5 \frac{1}{3} = \frac{16}{3}$ . Оскільки вставляємо 4 числа, прогресія матиме $4 + 2 = 6$ членів.
Знайдемо знаменник $q$ : $\frac{16}{3} = \frac{81}{2} \cdot q^{5} \Rightarrow q^{5} = \frac{16}{3} \cdot \frac{2}{81} = \frac{32}{243}$ . Звідси $q = 5 \frac{32}{243} = \frac{2}{3}$ .
Знайдемо пропущені члени: $b_{2} = \frac{81}{2} \cdot \frac{2}{3} = 27$ ; $b_{3} = 27 \cdot \frac{2}{3} = 18$ ; $b_{4} = 18 \cdot \frac{2}{3} = 12$ ; $b_{5} = 12 \cdot \frac{2}{3} = 8$ .
Обчислимо суму за формулою: $S_{6} = \frac{\frac{81}{2} (( \frac{2}{3} ) ^{6} - 1 )}{\frac{2}{3} - 1} = \frac{40 , 5 ( \frac{64}{729} - 1 )}{- \frac{1}{3}} = 136$ .

Відповідь:

Вставлені числа: $27, 18, 12, 8$ ; сума прогресії дорівнює $136$ .

Розбір зрозумілий?