Завдання 951, § 17. Геометрична прогресія Geometric Progression — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 951

Знаходження першого члена прогресії

Сума другого та четвертого членів зростаючої геометричної прогресії дорівнює $45$ , а їхній добуток — $324$ . Потрібно визначити перший член цієї прогресії.

Розв’язання

Позначимо другий член через $b_{2} = x$ та четвертий через $b_{4} = y$ . За умовою маємо систему: ${x + y = 45 x y = 324$ .
Розв'яжемо рівняння $t^{2} - 45 t + 324 = 0$ . Дискримінант $D = 4 5^{2} - 4 \cdot 324 = 2025 - 1296 = 729$ . Корені: $t_{1, 2} = \frac{45 \pm 27}{2}$ . Отримуємо $x_{1} = 36$ та $x_{2} = 9$ .
Оскільки прогресія зростаюча ( $b_{4} > b_{2}$ ), то $y = 36$ і $x = 9$ . Знайдемо знаменник: $b_{4} = b_{2} \cdot q^{2} \Rightarrow 36 = 9 \cdot q^{2} \Rightarrow q^{2} = 4 \Rightarrow q = 2$ (бо прогресія зростає).
Знайдемо перший член: $b_{2} = b_{1} \cdot q \Rightarrow 9 = b_{1} \cdot 2 \Rightarrow b_{1} = 4, 5$ .

Відповідь:

$b_{1} = 4, 5$

Розбір зрозумілий?

§ 17. Геометрична прогресія Geometric Progression Завдання 951 с. 182

Знаходження першого члена прогресії

Умова

Що треба знати

У геометричній прогресії $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$ . Якщо сума двох членів відома, а їх добуток — це квадрат середнього члена між ними (або просто система рівнянь), можна знайти значення. Для зростаючої прогресії $q > 1$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Позначте другий член через $x$ , а четвертий через $y$ . Складіть систему рівнянь за умовою ( $x + y = 45, x y = 324$ ). Знайдіть корені. Визначте, який з них відповідає другому члену прогресії, і знайдіть знаменник $q$ , щоб отримати $b_{1}$ .

Розв’язання крок за кроком

Позначимо другий член через $b_{2} = x$ та четвертий через $b_{4} = y$ . За умовою маємо систему: ${x + y = 45 x y = 324$ .
Розв'яжемо рівняння $t^{2} - 45 t + 324 = 0$ . Дискримінант $D = 4 5^{2} - 4 \cdot 324 = 2025 - 1296 = 729$ . Корені: $t_{1, 2} = \frac{45 \pm 27}{2}$ . Отримуємо $x_{1} = 36$ та $x_{2} = 9$ .
Оскільки прогресія зростаюча ( $b_{4} > b_{2}$ ), то $y = 36$ і $x = 9$ . Знайдемо знаменник: $b_{4} = b_{2} \cdot q^{2} \Rightarrow 36 = 9 \cdot q^{2} \Rightarrow q^{2} = 4 \Rightarrow q = 2$ (бо прогресія зростає).
Знайдемо перший член: $b_{2} = b_{1} \cdot q \Rightarrow 9 = b_{1} \cdot 2 \Rightarrow b_{1} = 4, 5$ .

Відповідь:

$b_{1} = 4, 5$

Розбір зрозумілий?