Завдання 950, § 17. Геометрична прогресія Geometric Progression — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 950

Знаходження першого члена та знаменника за різницями членів

Дано систему рівнянь для геометричної прогресії $(b_{n})$ : $b_{5} - b_{1} = 15$ , $b_{4} - b_{2} = 6$ . Знайти $b_{1}$ та $q$ .

Розв’язання

Запишемо систему через $b_{1}$ та $q$ : ${b_{1} q^{4} - b_{1} = 15 b_{1} q^{3} - b_{1} q = 6$ .
Спростимо друге рівняння: $b_{1} q (q^{2} - 1) = 6$ .
Поділимо перше рівняння на друге: $\frac{b _{1} ( q ^{4} - 1 )}{b _{1} q ( q ^{2} - 1 )} = \frac{15}{6}$ . Оскільки $q^{4} - 1 = (q^{2} - 1) (q^{2} + 1)$ , скорочуємо $(q^{2} - 1)$ . Отримуємо $\frac{q ^{2} + 1}{q} = 2, 5 \Rightarrow q + \frac{1}{q} = 2, 5$ .
Розв'яжемо рівняння відносно $q$ : $q^{2} - 2, 5 q + 1 = 0 \Rightarrow 2 q^{2} - 5 q + 2 = 0$ . Корені: $q_{1} = 2$ , $q_{2} = 0, 5$ .
Знайдемо $b_{1}$ для кожного випадку. Якщо $q = 2$ : $b_{1} (2^{4} - 1) = 15 \Rightarrow 15 b_{1} = 15 \Rightarrow b_{1} = 1$ . Перевірка другого рівняння: $1 \cdot 2 (4 - 1) = 6$ — підходить. Якщо $q = 0, 5$ : $b_{1} ((0, 5)^{4} - 1) = 15 \Rightarrow b_{1} (- 0, 9375) = 15$ , що дає дрібне число, але перевіримо друге: $b_{1} (0, 5) (0, 25 - 1) = 6 \Rightarrow b_{1} (0, 5) (- 0, 75) = 6 \Rightarrow - 0, 375 b_{1} = 6$ , теж не ціле. Але в умові не сказано про цілі числа. Перевіримо ще раз обчислення для $q = 0, 5$ : $b_{1} (1/16 - 1) = 15 \Rightarrow b_{1} (- 15/16) = 15 \Rightarrow b_{1} = - 16$ . Перевірка другого: $- 16 \cdot 0, 5 \cdot (0, 25 - 1) = - 8 \cdot (- 0, 75) = 6$ . Підходить. Отже, два варіанти розв'язку.

Відповідь:

Два можливі набори параметрів: $b_{1} = 1, q = 2$ або $b_{1} = - 16, q = 0, 5$ .

Розбір зрозумілий?

§ 17. Геометрична прогресія Geometric Progression Завдання 950 с. 182

Знаходження першого члена та знаменника за різницями членів

Умова

Дано систему рівнянь для геометричної прогресії $(b_{n})$ : $b_{5} - b_{1} = 15$ , $b_{4} - b_{2} = 6$ . Знайти $b_{1}$ та $q$ .

Що треба знати

Виразимо члени через перший ( $b_{1}$ ) і знаменник ( $q$ ): $b_{5} = b_{1} q^{4}$ , $b_{4} = b_{1} q^{3}$ , $b_{2} = b_{1} q$ . Підставимо ці вирази у систему рівнянь.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Спростіть друге рівняння, винесіть спільний множник $b_{1} q$ , а потім скористайтеся відношенням між лівими і правими частинами рівнянь, щоб знайти $q$ .

Розв’язання крок за кроком

Запишемо систему через $b_{1}$ та $q$ : ${b_{1} q^{4} - b_{1} = 15 b_{1} q^{3} - b_{1} q = 6$ .
Спростимо друге рівняння: $b_{1} q (q^{2} - 1) = 6$ .
Поділимо перше рівняння на друге: $\frac{b _{1} ( q ^{4} - 1 )}{b _{1} q ( q ^{2} - 1 )} = \frac{15}{6}$ . Оскільки $q^{4} - 1 = (q^{2} - 1) (q^{2} + 1)$ , скорочуємо $(q^{2} - 1)$ . Отримуємо $\frac{q ^{2} + 1}{q} = 2, 5 \Rightarrow q + \frac{1}{q} = 2, 5$ .
Розв'яжемо рівняння відносно $q$ : $q^{2} - 2, 5 q + 1 = 0 \Rightarrow 2 q^{2} - 5 q + 2 = 0$ . Корені: $q_{1} = 2$ , $q_{2} = 0, 5$ .
Знайдемо $b_{1}$ для кожного випадку. Якщо $q = 2$ : $b_{1} (2^{4} - 1) = 15 \Rightarrow 15 b_{1} = 15 \Rightarrow b_{1} = 1$ . Перевірка другого рівняння: $1 \cdot 2 (4 - 1) = 6$ — підходить. Якщо $q = 0, 5$ : $b_{1} ((0, 5)^{4} - 1) = 15 \Rightarrow b_{1} (- 0, 9375) = 15$ , що дає дрібне число, але перевіримо друге: $b_{1} (0, 5) (0, 25 - 1) = 6 \Rightarrow b_{1} (0, 5) (- 0, 75) = 6 \Rightarrow - 0, 375 b_{1} = 6$ , теж не ціле. Але в умові не сказано про цілі числа. Перевіримо ще раз обчислення для $q = 0, 5$ : $b_{1} (1/16 - 1) = 15 \Rightarrow b_{1} (- 15/16) = 15 \Rightarrow b_{1} = - 16$ . Перевірка другого: $- 16 \cdot 0, 5 \cdot (0, 25 - 1) = - 8 \cdot (- 0, 75) = 6$ . Підходить. Отже, два варіанти розв'язку.

Відповідь:

Два можливі набори параметрів: $b_{1} = 1, q = 2$ або $b_{1} = - 16, q = 0, 5$ .

Розбір зрозумілий?