Завдання 948, § 17. Геометрична прогресія Geometric Progression

Розв’язання крок за кроком

1. Знайдемо знаменник прогресії: $q=\frac{8/27}{4/81}=\frac{8}{27}\cdot \frac{81}{4}=6$.

2. Перший член прогресії $b_1=\frac{4}{81}$.

3. Складемо рівняння для знаходження номера члена: $\frac{4}{81}\cdot 6^{n-1}=64$.

4. Розв'яжемо рівняння: $6^{n-1}=64\cdot \frac{81}{4}=16\cdot 81=2^4\cdot 3^4$. Оскільки основа має бути однаковою, перевіримо степені. Помножимо обидві частини на $\frac{1}{6}$ (або поділимо на $q$): $\frac{4}{81}\cdot 6^{n-1}=64\Rightarrow 6^{n-1}=\frac{64\cdot 81}{4}=16\cdot 81$. Це не зводиться до простої степені числа 6. Перевіримо обчислення: $b_1=4/81,q=6$. $b_n=(4/81)\ast 6^{n-1}=64$. $6^{n-1}=64\ast 81/4=16\ast 81=2^4\ast 3^4$. Тут є помилка в логіці, бо основа не збігається. Перепишемо: $b_n=b_1{q}^{n-1}$. $\frac{4}{81}\cdot 6^{n-1}=64$. $6^{n-1}=64\cdot \frac{81}{4}=16\cdot 81=2^4\cdot 3^4$. Тут не виходить ціле число. Перевіримо умову знову: $\frac{4}{81},\frac{8}{27}$. $q=6$. $b_1=4/81$. $b_n=(4/81)\ast 6^{n-1}=64$. $6^{n-1}=64\ast 81/4=16\ast 81$. Це не є степенем числа 6. Можливо, я неправильно зрозумів число 64? Ні, в умові 64. Перевіримо ще раз: $b_2=(4/81)\ast 6=24/81=8/27$. Все вірно. Чому не виходить? Ого, $16\cdot 81=1300$? Ні, $16\cdot 81=1296$. $\sqrt{1296}=36$. $36^2=1296$. $6^{n-1}=1296$. $6^4=1296$. Отже, $n-1=4\Rightarrow n=5$.