Завдання 943, § 17. Геометрична прогресія Geometric Progression — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 943

Старовинна задача про плату та милостиню

Бідняк працює 14 днів (два тижні). Плата збільшується щодня на 1 крб, починаючи з 1 крб (арифметична прогресія). Милостиня збільшується вдвічі щодня, починаючи з 1 копійки (геометрична прогресія). Знайти загальну суму отриманих грошей багатим.

Розв’язання

Розглянемо плату (арифметична прогресія): $a_{1} = 1$ , різниця $d = 1$ , кількість днів $n = 14$ . Знайдемо 14-й член: $a_{14} = 1 + (14 - 1) \cdot 1 = 14$ . Сума плати: $S_{плата} = \frac{14 ( 1 + 14 )}{2} = 7 \cdot 15 = 105$ крб.
Розглянемо милостиню (геометрична прогресія): $b_{1} = 1$ , знаменник $q = 2$ , кількість днів $n = 14$ . Сума милостині: $S_{мил} = \frac{1 ( 2 ^{14} - 1 )}{2 - 1} = 2^{14} - 1 = 16384 - 1 = 16383$ копійки.
Переведемо милостиню в крб: $16383 копійки = 163 крб 83 копійки$ .
Обчислимо загальну суму: $105 + 163, 83 = 169, 83$ (крб).

Відповідь:

Багатий отримав 105 крб плати та 163 крб 83 копійки милостині, разом 169 крб 83 копійки.

Розбір зрозумілий?

§ 17. Геометрична прогресія Geometric Progression Завдання 943 с. 181

Старовинна задача про плату та милостиню

Умова

Що треба знати

Сума арифметичної прогресії $S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}$ , сума геометричної прогресії $S_{n} = \frac{b _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Розрахуйте суму щоденної плати окремо від суми милостині за 14 днів, а потім додайте ці дві величини.

Розв’язання крок за кроком

Розглянемо плату (арифметична прогресія): $a_{1} = 1$ , різниця $d = 1$ , кількість днів $n = 14$ . Знайдемо 14-й член: $a_{14} = 1 + (14 - 1) \cdot 1 = 14$ . Сума плати: $S_{плата} = \frac{14 ( 1 + 14 )}{2} = 7 \cdot 15 = 105$ крб.
Розглянемо милостиню (геометрична прогресія): $b_{1} = 1$ , знаменник $q = 2$ , кількість днів $n = 14$ . Сума милостині: $S_{мил} = \frac{1 ( 2 ^{14} - 1 )}{2 - 1} = 2^{14} - 1 = 16384 - 1 = 16383$ копійки.
Переведемо милостиню в крб: $16383 копійки = 163 крб 83 копійки$ .
Обчислимо загальну суму: $105 + 163, 83 = 169, 83$ (крб).

Відповідь:

Багатий отримав 105 крб плати та 163 крб 83 копійки милостині, разом 169 крб 83 копійки.

Розбір зрозумілий?