Завдання 942, § 17. Геометрична прогресія Geometric Progression — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 942

Знаходження першого члена прогресії за сумою та знаменником

Знаменник геометричної прогресії $q = \frac{2}{3}$ , а сума чотирьох перших її членів дорівнює 65. Знайти перший член цієї прогресії ( $b_{1}$ ).

Розв’язання

Запишемо формулу для суми 4-х членів: $S_{4} = \frac{b _{1} ( q ^{4} - 1 )}{q - 1}$ .
Підставимо числові значення $q = \frac{2}{3}$ та $S_{4} = 65$ у формулу: $65 = \frac{b _{1} ( ( \frac{2}{3} ) ^{4} - 1 )}{\frac{2}{3} - 1}$ .
Обчислимо ступінь і дріб у дужках: $(\frac{2}{3})^{4} = \frac{16}{81}$ , отже $\frac{16}{81} - 1 = - \frac{65}{81}$ . Знаменник дробу: $\frac{2}{3} - 1 = - \frac{1}{3}$ .
Спростимо рівняння: $65 = \frac{b _{1} \cdot ( - \frac{65}{81} )}{- \frac{1}{3}} = b_{1} \cdot \frac{65}{81} \cdot 3 = b_{1} \cdot \frac{65}{27}$ .
Знайдемо $b_{1}$ : $b_{1} = 65 : \frac{65}{27} = 65 \cdot \frac{27}{65} = 27$ .

Відповідь:

Перший член прогресії дорівнює 27.

Розбір зрозумілий?

§ 17. Геометрична прогресія Geometric Progression Завдання 942 с. 181

Умова

Що треба знати

Сума $n$ перших членів геометричної прогресії обчислюється за формулою $S_{n} = \frac{b _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Підстав відомі значення ( $q$ , $n = 4$ , $S_{4}$ ) у формулу суми та вираз перший член через інші величини.

Розв’язання крок за кроком

Запишемо формулу для суми 4-х членів: $S_{4} = \frac{b _{1} ( q ^{4} - 1 )}{q - 1}$ .
Підставимо числові значення $q = \frac{2}{3}$ та $S_{4} = 65$ у формулу: $65 = \frac{b _{1} ( ( \frac{2}{3} ) ^{4} - 1 )}{\frac{2}{3} - 1}$ .
Обчислимо ступінь і дріб у дужках: $(\frac{2}{3})^{4} = \frac{16}{81}$ , отже $\frac{16}{81} - 1 = - \frac{65}{81}$ . Знаменник дробу: $\frac{2}{3} - 1 = - \frac{1}{3}$ .
Спростимо рівняння: $65 = \frac{b _{1} \cdot ( - \frac{65}{81} )}{- \frac{1}{3}} = b_{1} \cdot \frac{65}{81} \cdot 3 = b_{1} \cdot \frac{65}{27}$ .
Знайдемо $b_{1}$ : $b_{1} = 65 : \frac{65}{27} = 65 \cdot \frac{27}{65} = 27$ .

Відповідь:

Перший член прогресії дорівнює 27.

Розбір зрозумілий?