Завдання 910 (с. 175), § 16. Арифметична прогресія — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 910 (с. 175)

Розв'язання рівнянь з сумою прогресії

а) $4 + 9 + 14 + \dots + (5 n - 1) = 1030$ . Знайти натуральне число $n$ . б) $6 + 10 + 14 + \dots + x = 160$ . Знайти натуральне число $x$ (останній член).

Розв’язання

а) 1. Перший член $a_{1} = 4$ , останній $a_{n} = 5 n - 1$ . Різниця $d = 9 - 4 = 5$ .
Підставимо в формулу суми: $S_{n} = \frac{4 + ( 5 n - 1 )}{2} \cdot n = 1030$ .
Спростимо: $\frac{5 n + 3}{2} \cdot n = 1030 \Rightarrow n (5 n + 3) = 2060 \Rightarrow 5 n^{2} + 3 n - 2060 = 0$ .
Розв'яжемо квадратне рівняння: $D = 9 - 4 \cdot 5 \cdot (- 2060) = 9 + 41200 = 41209$ . $D = 203$ . $n = \frac{- 3 + 203}{10} = 20$ .
б) 1. Перший член $a_{1} = 6$ , різниця $d = 10 - 6 = 4$ . Останній член $x$ . Сума $S_{n} = 160$ .
Формула суми: $\frac{6 + x}{2} \cdot n = 160 \Rightarrow (6 + x) n = 320$ .
Також $x = 6 + (n - 1) 4 = 4 n + 2$ . Підставимо: $(6 + 4 n + 2) n = 320 \Rightarrow (4 n + 8) n = 320 \Rightarrow 4 n^{2} + 8 n - 320 = 0$ .
Спростимо на 4: $n^{2} + 2 n - 80 = 0$ . Дискримінант $D = 4 - 4 \cdot (- 80) = 324$ , $D = 18$ . $n = \frac{- 2 + 18}{2} = 8$ .
Знайдемо $x$ : $x = 6 + (8 - 1) \cdot 4 = 6 + 28 = 34$ .

Відповідь:

а) $n = 20$ ; б) $x = 34$ .

Розбір зрозумілий?

§ 16. Арифметична прогресія Завдання 910 (с. 175) с. 175

Розв'язання рівнянь з сумою прогресії

Умова

Що треба знати

Сума арифметичної прогресії обчислюється за формулою $S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n$ , де $a_{1}$ — перший член, $a_{n}$ — останній, $n$ — кількість членів. Різниця $d = a_{k + 1} - a_{k}$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Для а) знайди різницю прогресії та перший член, потім вираз $n$ через суму. Для б) спочатку знайди кількість членів $n$ , а потім останній член $x$ .

Розв’язання крок за кроком

а) 1. Перший член $a_{1} = 4$ , останній $a_{n} = 5 n - 1$ . Різниця $d = 9 - 4 = 5$ .
Підставимо в формулу суми: $S_{n} = \frac{4 + ( 5 n - 1 )}{2} \cdot n = 1030$ .
Спростимо: $\frac{5 n + 3}{2} \cdot n = 1030 \Rightarrow n (5 n + 3) = 2060 \Rightarrow 5 n^{2} + 3 n - 2060 = 0$ .
Розв'яжемо квадратне рівняння: $D = 9 - 4 \cdot 5 \cdot (- 2060) = 9 + 41200 = 41209$ . $D = 203$ . $n = \frac{- 3 + 203}{10} = 20$ .
б) 1. Перший член $a_{1} = 6$ , різниця $d = 10 - 6 = 4$ . Останній член $x$ . Сума $S_{n} = 160$ .
Формула суми: $\frac{6 + x}{2} \cdot n = 160 \Rightarrow (6 + x) n = 320$ .
Також $x = 6 + (n - 1) 4 = 4 n + 2$ . Підставимо: $(6 + 4 n + 2) n = 320 \Rightarrow (4 n + 8) n = 320 \Rightarrow 4 n^{2} + 8 n - 320 = 0$ .
Спростимо на 4: $n^{2} + 2 n - 80 = 0$ . Дискримінант $D = 4 - 4 \cdot (- 80) = 324$ , $D = 18$ . $n = \frac{- 2 + 18}{2} = 8$ .
Знайдемо $x$ : $x = 6 + (8 - 1) \cdot 4 = 6 + 28 = 34$ .

Відповідь:

а) $n = 20$ ; б) $x = 34$ .

Розбір зрозумілий?