Завдання 910, § 16. Арифметична прогресія — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 910

Розв'язування рівнянь з арифметичною прогресією

а) Сума членів прогресії $4 + 9 + 14 + \dots + (5 n - 1)$ дорівнює $1030$ . Знайти натуральне число $n$ .
б) Сума членів прогресії $6 + 10 + 14 + \dots + x$ дорівнює $160$ . Знайти натуральне число $x$ .

Розв’язання

Для пункту а): Перший член $a_{1} = 4$ , останній $a_{n} = 5 n - 1$ . Підставимо в формулу суми: $\frac{n ( 4 + 5 n - 1 )}{2} = 1030 \Rightarrow n (5 n + 3) = 2060$ . Розв'яжемо квадратне рівняння $5 n^{2} + 3 n - 2060 = 0$ .
Знайдемо корені: $D = 9 - 4 \cdot 5 \cdot (- 2060) = 10289$ (приблизно). Перевіримо цілі корені: якщо $n = 20$ , то $5 (20)^{2} + 3 (20) = 2000 + 60 = 2060$ . Отже, $n = 20$ .
Для пункту б): Перший член $a_{1} = 6$ , різниця $d = 4$ . Останній член $x = a_{n}$ . Сума $S_{n} = \frac{n ( 6 + x )}{2} = 160 \Rightarrow n (6 + x) = 320$ . Знайдемо кількість членів: $a_{k} = 6 + (k - 1) 4$ . Перевіримо, чи є $x$ натуральним. Якщо $n = 8$ , то $8 (6 + x) = 320 \Rightarrow 6 + x = 40 \Rightarrow x = 34$ . Перевірка: $6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 + 30 + 34 = 160$ .

Відповідь:

а) $n = 20$ ; б) $x = 34$ .

Розбір зрозумілий?

§ 16. Арифметична прогресія Завдання 910 с. 174

Розв'язування рівнянь з арифметичною прогресією

Умова

Що треба знати

Сума перших $n$ членів арифметичної прогресії обчислюється за формулою $S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}$ , де $a_{1}$ — перший член, $a_{n}$ — останній член.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Визнач перший та останній члени прогресії в кожному випадку і підстав їх у формулу суми для знаходження невідомого.

Розв’язання крок за кроком

Для пункту а): Перший член $a_{1} = 4$ , останній $a_{n} = 5 n - 1$ . Підставимо в формулу суми: $\frac{n ( 4 + 5 n - 1 )}{2} = 1030 \Rightarrow n (5 n + 3) = 2060$ . Розв'яжемо квадратне рівняння $5 n^{2} + 3 n - 2060 = 0$ .
Знайдемо корені: $D = 9 - 4 \cdot 5 \cdot (- 2060) = 10289$ (приблизно). Перевіримо цілі корені: якщо $n = 20$ , то $5 (20)^{2} + 3 (20) = 2000 + 60 = 2060$ . Отже, $n = 20$ .
Для пункту б): Перший член $a_{1} = 6$ , різниця $d = 4$ . Останній член $x = a_{n}$ . Сума $S_{n} = \frac{n ( 6 + x )}{2} = 160 \Rightarrow n (6 + x) = 320$ . Знайдемо кількість членів: $a_{k} = 6 + (k - 1) 4$ . Перевіримо, чи є $x$ натуральним. Якщо $n = 8$ , то $8 (6 + x) = 320 \Rightarrow 6 + x = 40 \Rightarrow x = 34$ . Перевірка: $6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 + 30 + 34 = 160$ .

Відповідь:

а) $n = 20$ ; б) $x = 34$ .

Розбір зрозумілий?